V－E＋F＝2 （式1）
所以，立方体有六个面（F＝6）和8个项角（V＝8）；代入式1，得 8－E＋6＝2，即V14-E=2，E=12。式1计算结果立方体有12个边，立方体果然有12个棱。本书文献目录中列出的Courant and Robbins的著作中用简单几何方法证明了式1。根据式1可以证明世界上只能有正五面体。
多面体的任何一个棱均为相邻的两个多边形的边所共有。再以立方体为例，立方体的任何一个棱都是两个正方形的共边界。如果把一个多面体的所有面的所有边（nF）都计算一遍，则每一个棱都要两次计算。因此：
nF＝2E （式2）
以r代表一个顶角的共有边的个数，则在立方体中，r＝3。同理，每一个边都具有两个顶角。如果把所有的顶角（rV）都计算一遍，则每一个顶角也都要计算两次。因此：
rV＝2E（式3）
把式2和式3代入式1，则得：
2E/r-E+2E/n=2
两边都除以2E，则得：
1/n+1/r=1/2+1/E（式4）
已知n等于3或大于3，因为最简单的多边形是具有三条边的三角形。已知r等于3或大于3，因为至少要三个面夹一个顶角才能构成最简单的多面体。若n和r同时都大于3，则式4的式边得数则要小于2/3。这样，只要E是正数，式4则不成立。于是，再根据谬误归约论，则只能出现两种情况，即或者n＝3，r等于或大于3，或者r＝3，n等于或大于3。
若n＝3，式4则变化为（1/3）+（1/r）=（1/2）+（1/E），或下式：
1/r=1/E+1/6（式5）
据此，r只能等于3、4或5。如果r（原文为E。根据上下文，应为r。——译者注）等于或大于6，则式5不成立。于是，n＝3和r＝3是由 3个三角形共有一个项角构成的多面体。根据式5，这个多面体有6个棱；根据式2，这个多面体有4个面；根据式3，这个多面体有4个顶角。显然，这是一个金字塔或四面形。n＝3和r＝4是一个具有8个面的多面体，其中4个三角形共有一个项角，即八面体。而n＝3和r＝5是一个具有20个面的多面体，其中5个三角形共有一个顶角，即20面体（参见本书第53页）。
若r＝3，则式4变化为：
1/n=1/E+1/6 ，
同理可得，r也只能等于3、4或5。若n=3，则又是一个四边形；n=4，则是由六个正方形组成的多面体，即立方体；n＝5，则是由12个五边形组成的多面体，即12面体。
综上所述，除了3、4和5外，n和r不可能是其他整数。因此，世界上只能有正五面体。这就是用抽象而漂亮的数学方式推导出来的结果，而这个结果，正如大家都看到的，对人类社会曾经产生过巨大的影响。