迈尔在注释这一段的时候说，在这里会得出一个与矛盾律相反的组合，因而是荒谬的。
②这个注释又一次地显露了迈尔在逻辑上的无知。
违反矛盾律的不是蕴涵式“如果非β，则β”而仅仅是合取式“β并且非β”。
亚里士多德之后若干年，数学家欧几里德作出了一个数学定理的证明。
这个数学定理蕴涵着断定命题“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ。“
③他首先说：“如果两个正整数ａ与ｂ的积
①见，Ａ。
Ｎ。
怀特海与Ｂ。
罗素：《数学原理》卷ｉ，剑桥１９１０年版，第１０８页，断定命题P２。
１８。
②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第３１页：“由于这样会得到一个与矛盾律相对立的组合，所以它乃是荒谬的。”
③见《Ｇ瓦拉第文集》（Ｓｃｒｉｔｉ
ｄｉ
Ｇｖａｉｌａｔｉ）
，来比锡－佛罗伦萨，ＣＸＶ，W《关于特第托的一段书与欧几里德的证明》，第５１６—５２７页；参看卢卡西维茨“对于多值命题演算系统的哲学考察”
（ＰｈｉｌｏｓｏｐｈｉｓｃｈｅＢｅｍｅｒｋｕｎｇｅｎｚｕｍｅｈｒｗｅｒｔｉｇｅｎｓｙｓｅｍｅｎｄｅｓＡｕｓａｇｅｎｋａｌｋｕZｌｓ）
，《华沙科学与文学会会刊》ｘｉ卷（１９３０年）
，第Ⅲ类，第６７页。
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１７。换位法证明A ７７
是可以被素数ｎ整除的，则如果ａ是不能被ｎ整除的，则ｂ应当被ｎ整除。“让我们假定ａ＝ｂ，并且它们的积ａ×ａ（ａ２）能被ｎ整除。
由这个假定得出：“如果ａ是不能被ｎ整除的，则ａ是可被ｎ整除的。”这里我们就有了一个前件为其后件否定的真蕴涵式的例子。
从这个蕴涵式中欧几里德导出定理：“如果ａ２可被一素数ｎ整除，则ａ可被ｎ整除。”
１７。换位法证明A用一个前提换位来证明不完全的三段论，既是最简单的也是亚里士多德最经常使用的。
让我们分析两个例子。
第二格Ｆｅｓｔｉｎｏ式的证明是这样：“如果Ｍ属于无一Ｎ，但属于有些Ｘ，则Ｎ必不属有些Ｘ也是必然的了。
因为否定前提是可换位的，Ｎ属于无一Ｍ，但已认定Ｍ属于有些Ｘ；所以Ｎ不属于有些Ｘ。
达到这个结论是借助于第一格。“
①
这个证明基于两个前提：其一是Ｅ命题的换位律：（１）如果Ｍ属于无一Ｎ，那么Ｎ属于无一Ｍ，另一个是第一格的Ｆｅｒｉｏ式：（２）如果Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
从这些前提我们必定导出Ｆｅｓｔｉｎｏ式：（３）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
亚里士多德直观地进行这个证明。
在分析他的直观时，我们发
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ３２。
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８７第三章 亚里士多德三段论系统
现两条命题演算的断定命题：其一是上面已提到的假言三段论定律，它可以陈述为下列形式：（４）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）
，则（如果ｐ，则ｒ）
］，①
另一断定命题读作：（５）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｐ并且ｒ，则ｑ并且ｒ）。
这个断定命题在《数学原理》中，根据皮亚诺的主张，把它叫做因子原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｏｆ
Ｆａｃｔｏｒ）。
它表明我们可用一个公因子“乘”蕴涵式的两边，即，我们可借助于“并且”这个词，把一个新命题ｒ加于ｐ和加于ｑ，②
我们从断定命题（５）
开始。
因为ｐ，ｑ和ｒ都是命题变项。
我们可以用亚里士多德逻辑的前提去代替它们。
以“Ｍ属于无一Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于无一Ｍ”代ｑ，以“Ｍ属于有些Ｘ”代ｒ，我们从（５）的前件可得出换位律（１）
，并且我们可把（５）
的后件分离出来作为一个新的断定命题。
这个新断定命题有形式：（６）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ。
这个断定命题的后件与断定命题（２）的前件等同，因此，我们可对（６）与（２）应用假言三段论规则，以合取式“Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ”代ｐ，以合取式“Ｎ属于无一
①见《数学原理》第１０４页，断定命题P２。
０６。
②见《数学原理》第１９页，断定命题P３。
４５。
合取式“ｐ并且ｒ”在《数学原理》中被称为“逻辑积”。
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１７。换位法证明A ９７
Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ“
代ｑ，而以命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
代ｒ。
两次运用分离规则，我们就从这个新断定命题得到Ｆｅｓｔｉｎｏ式。
我想分析的第二个例子稍有不同。
它就是上面提到过的Ｄｉｓａｍｉｓ式的证明。
①我们要证明以下的不完全三段论：（７）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｐ属于有些Ｒ。
这个证明基于第一格的Ｄａｒｉ式：（８）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｒ属于有些Ｐ。
而且基于Ⅰ命题换位律的两次应用，第一次应用于以下形式：（９）如果Ｐ属于有些Ｓ，则Ｓ属于有些Ｐ，而第二次应用于以下形式：（１０）如果Ｒ属于有些Ｐ，则Ｐ属于有些Ｒ。
我们以假言三段论的定律和下列断定命题作为命题逻辑的辅助命题。
下面的断定命题与（５）略有不同，但还可以叫做因子原则：（１）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｒ并且ｐ，则ｒ并且ｑ）。
（５）与（１）之间的差别在于：公因子ｒ不是象在（５）
之中那样在第二个位置上，而是在第一个位置上。
由于合取式是可交换的，而且“ｐ并且ｒ”与“ｒ并且ｐ”是等价的，所以这个差别不影响这个断定命题的正确性。
亚里士多德所作的证明由前提“ｐ属于有些Ｓ”
的换位开
①见第３７页注①。
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０８第三章 亚里士多德三段论系统
始。
在这个处理之后，让我们把（１）中的ｐ代之以前提“ｐ属于有些Ｓ”
，把ｑ代之以前提“Ｓ属于有些Ｐ”
，而把ｒ代之以前提“Ｒ属于所有Ｓ”。
用这个替换，我们从（１）的前件得到换位律（９）
，并且我们因而可以分离出（１）的后件，即：（１２）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些ｐ。
（１２）的后件与（８）的前件是等同的。
应用假言三段论定律，我们能从（１２）和（８）得到三段论：（１３）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于有些Ｐ。
但这个三段论不是所要求的Ｄｉｓａｍｉｓ式，而是Ｄａｔｉｓｉ式。
当然，Ｄｉｓａｍｉｓ式能够从Ｄａｔｉｓｉ式根据断定命题（１０）把它的后件换位而导出，亦即应用假言三段论于（１３）与（１０）。
然而似乎亚里士多德采取了另一个途径：他并不用导出Ｄａｔｉｓｉ式并转换它的结论的办法，而是把Ｄａｒｉ式的结论换位，从而得到三段论：（１４）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｐ属于有些Ｒ。
并且随后他直观地应用假言三段论定律于（１２）与（１４）。
三段论（１４）是一个第四格的式，叫做Ｄｉｍａｒｉｓ。
如我们已经知道的，亚里士多德在《前分析篇》第二卷开头的地方提到这个式。