例如用以下一组数字，表达式（１）就被反驳了：ａ１＝４，ｂ１＝７，ｃ１＝３，ｄ１＝４，（４）ａ２＝９，ｂ２＝５，ｃ２＝８，ｄ２＝３。
能够很容易地证明：根据这个解释Ａａｂ是假的（因为４不能被７整除）
，从而ＮＡａｂ是真的；Ｉｃｄ是假的（因为ｃ２对于ｄ１不是互素的）
，所以ＮＩｃｄ是真的；Ｉｂｄ是真的（因为ｂ１与ｄ２，ｂ２与ｄ１两对数，彼此都是互素的）
；但是ＮＡａｄ是假的，因为Ａａｄ是真的（ａ１可被ｄ１整除，而且ａ２可被ｄ２整除）。
所有前件都是真的，后件是假的；所以表达式（１）被驳倒了。
相同的这样一组数并不反驳表达式（２）
，因为Ｉｂｃ是真的（由于ｂ１与ｃ２，及ｂ２与ｃ１两对数，彼此是互素的）
，从而ＮＩｂｃ是假的。
但如果一个蕴涵式的前件是假的，这个蕴涵式就是真的。
为了反驳表达式（２）
，我们必须取另外一组数：ａ（５）１＝９，ｂ１＝３，ｃ１＝８，ｄ１＝３，ａ２＝２，ｂ２＝２，ｃ２＝５，ｄ２＝２。
根据这个解释，表达式（２）的所有前件都是真的，而后件是假的；所以，这表达式就被反驳了。
但这第二组数并不反驳表达式（１）
，因为Ａａｂ是真的，从而ＮＡａｂ是假的，而一个假前件产生出一个真蕴涵式。
所以，（４）组与（５）组数都不能反驳表达式（３）
，它包括ＮＡａｂ以及ＮＩｂｃ。
-- 193
３４。三段论系统的一个算术的解释A １８１
有一个一般的方法能使我们当表述式（１）与（２）被反驳后，就反驳表达式（３）。
①首先，我们写下构成反驳（１）与（２）的数组的所有素数，我们得到对于（１）的一系列数２，３，５与７，以及对于（２）的一系列数２，３与５。
其次，我们用完全不同于第一系列的素数的新的素数来代换第二系列的数，例如，以１代２，１３代３，１７代５。
这样我们就得到一组新的数：
（６）ａ１＝１３１３，ｂ１＝１３，ｃ１＝３１１１１，ｄ１＝４１３，Wａ２＝１１，ｂ２＝１１，ｃ２＝８１７，ｄ２＝３１１W这个数组也反驳（２）
，因为可整除性与互素性的关系保持着和它们在代换之前的同样情况。
第三，我们把（４）组和（６）
组中出现的对应的变项的数相乘。
这样我们就得到一个新组：ａ１３１３，ｂ１３，ｃ１１１１，ｄ１３，（７）１＝４１＝７１＝３１＝４Wａ２＝９１１，
ｂ２＝５１１，ｃ２＝８１７，
ｄ２＝３１１W这个数组反驳（３）。
因为很明显，第一，如果对于前提Ａｅｆ或Ｉｅｆ对应着数组：ｅ１，ｅ２，ｆ１，ｆ２与ｅ２互素，ｆ１与ｆ２互素，并且有另一数组ｅD１与ｅD２互素，ｆD１ｆD２与ｅD２互素，它们全都由不同于前一组数的素数组成，从而ｅ１与ｅD１的乘积（即ｅ１ｅD１）
，与ｅ２与ｅD２的乘积（即ｅ２ｅD２）必定是互素的，而且W①这个方法是由斯卢派斯基发现的。
《关于亚里士多德三段论理论的研究》第２８页—３０页。
②如果有一个变项出现于被反驳的表达式之中，但不出现在另一个之中，我们在最后的置换之后，就简单地取它的对应的数。
②
-- 194
２８１第五章 判定问题
ｆ１ｆD１与ｆ２ｆD２也必定是互素的。
其次，如果Ａｅｆ被第一组数确W证，亦即如果ｅ１可被ｆ１整除，而且ｅ２可被ｆ２整除，并且同样情况对于第二组数也是真的，使得ｅD１也被ｆD１整除，而且ｅD２也被ｆD２整除，那么，ｅ１ｅD１必定可被ｆ１ｆD１整除，ｅ２ｅD２必定可被ｆ２ｆD２整W除。
再有，如果Ｉｅｆ被第一组数确证，亦即ｅ１与ｆ２互素，而ｅ２
与ｆ１互素，并且同样情况对于第二组数也是真的，使得ｅD１与ｆD２互素，而ｅD２与ｆD１互素，那么，ｅ１ｅD１与ｆ２ｆD２必定是互素的，ｅ２WｅD２与ｆ１ｆD１必定是互素的，因为所有第二组的数对第一组的数W都是互素的。
相反地，只要可整除性或互素性这些条件之一未能满足，那么，这相关的前提必定是假的。
从我们的例子中可以看出：Ａａｄ和Ｉｂｄ都被（７）确证，因为它们都被（４）和（６）确证，并且Ｉｃｄ同时被（４）和（６）两者反驳，从而也被（７）反驳。
Ａａｂ仅被（４）反驳（但这也足以使得用（７）来反驳它了）
这个方法可应用于这一类的任何情况，从而斯卢派斯基规则就由莱布尼兹的解释所确证。
莱布尼兹曾经说过：科学的和哲学的争论总能够用一个演算来解决。
依我看，他的著名的“演算”似乎是与以上的三段论系统的算术解释相联系，而不是与他的关于数理逻辑的观念相联系。
３５。结束语A在亚里士多德三段论系统的历史的和系统的研究的基础上，我们所达到的结果，在许多点上都与通常的介绍不同。
-- 195
３５。结束语A ３８１
亚里士多德逻辑不仅被来自哲学方面的逻辑学家所误传，因为他们错误地把它与传统的三段论系统等同起来，而且也被来自数学方面的逻辑学家所误传。
人们可以在数理逻辑教科书中一再地读到：Ａ前提的换位定律以及从它引出的有些三段论的形式（如Ｄａｒａｐｔｉ或Ｆｅｌａｐｔｏｎ）都是错的。
这个批评是基于这个错误的概念：亚里士多德的全称肯定前提“所有ａ都是ｂ”与量化的蕴涵式“对所有ｃ而言，如果ｃ是ａ，则ｃ是ｂ”
（其中ｃ是一个单一词项）
的意思是一样的，而且特称肯定前提“有些ａ是ｂ”与量化的合取式“对于有些ｃ而言，ｃ是ａ并且ｃ是ｂ”
（其中ｃ也是一个单一词项）的意思是一样的。
一个人如果承认这样一种解释，那么，他当然能够说定律ＣＡａｂｌｂａ是错的，因为ａ可以是一个空词项，以致没有ｃ是ａ，并且上面的量化的蕴涵式成为真的（因为它的前件是假的）
，而上面的量化的合取式成为假的（因为它的因子之一是假的）。
但是所有这些都是对亚里士多德逻辑的不恰当的误解。
在《分析篇》中没有什么段落能说明这样一个解释是正确的。
亚里士多德并没有把单一词项或空词项或量项引入他的逻辑。
他把他的逻辑仅应用于普通词项，如象“人”或“动物”。
并且甚至这些词项也仅仅属于这个系统的应用，而不属于这个系统本身。
在这个系统中，我们只有带有变元的表达式（如Ａａｂ或Ｉａｂ）及其否定式。
并且这些表达式中的两个乃是原始词项而不能被定义；它们仅仅有那些由公理陈述的性质。
同样的理由，像亚里士多德的三段论系统是否是一个类的理论（ａ
ｔｈｅｏｒｙ
ｏｆ
ｃｌａｓ）这样的争论，在我看来，是没有益处的。
亚里士多德的三段论系统既不是一个类的理论也不是一
-- 196
４８１第五章 判定问题
个谓项理论；它独立于其它演绎系统而存在，有它自己的公理系统和自己本身的问题。
我曾试图陈述这个系统使之从各种外来因素中解脱出来。
我不把单一的、空的、否定的词项引入其中，因为亚里士多德未曾引进它们。
我也不引入量词；我只试图借助量词来解释有些亚里士多德的观念。
在形式证明中，我使用了演绎理论的断定命题，因为亚里士多德直观地把它们用在他的证明中，并且我使用排斥，因为亚里士多德本人排斥有些公式，而且甚至还陈述过一条排斥规则。