ＣｐＭｐ
P５。
ＣＭｐｐP７。
Ｍｐ。
推论的规则是关于断定的表达式和排斥的表达式的替代规则和分离规则。
Ｌｐ是依靠δ定义引入的：C６４。
ＣδＮＭＮｐδＬｐ。
这表示：“ＮＭＮｐ”在任何地方都可以为“Ｌｐ”所替换，而反过来，“Ｌｐ”在任何地方也可以为“ＮＭＮｐ”所替换。
同样的模态逻辑系统也可以在下述基础上建立：使用Ｃ，Ｎ和Ｌ作为基本词项，以及公理：５１。(奇*书*网.整*理*提*供)
ＣδｐＣδＮｐδｑ
３。
ＣＬｐ
P６。
ＣｐＬｐP８。
ＮＬｐ，
-- 248
６３２第七章 模态逻辑系统
和Ｍ的δ定义：C６５。
ＣδＮＬＮｐδＭｐ。
Ｍ９是这个系统的充分足够的真值表：
我希望，在经过上述解释之后，每一个读者都可以借助于这个真值表去验证属于这个系统的任何公式，即证明断定的公式和否证排斥的公式。
可以证明，这个系统在这样的意义上说是完全的，即属于这个系统的每一个有意义的表达式都是可以判定的，它或者被断定，或者被排斥。
它在这样的意义上说也是一致的，即无矛盾的，这就是说任何一个有意义的表达式不能同时既被断定又被排斥。
这一个公理的集合是独立的。
我想强调一下，这个系统的公理完全是自明的。
带有δ的公理应当为所有接受古典命题演算的逻辑学家所熟悉；带有Ｍ的公理也应当断定为真；推论的规则同样是自明的。
在这个系统中所有正确推出的结果都应当为接受这些公理和推论规则的人所允许。
没有真正的理由可以用来反对这个系统。
我们也将看到，这个系统排斥了所有关于模态逻辑所引出的错
-- 249
５０。必然性和模态逻辑的四值系统A ７３２
误推论，解释了亚里士多德模态三段论中的困难，并且揭示了一系列意外的、对于哲学具有重大意义的逻辑事实。
５０。必然性和模态逻辑的四值系统A在第六章结尾时指出过两个重大的困难：第一个是与亚里士多德承认有断定的必然命题相联系，第二个是与他承认有断定的偶然命题相联系，现在让我们解决第一个困难。
如果将所有分析命题都看作是必然真的命题，那末，最典型的分析命题——同一性原则Ｆｘ——也应当看作是必然真的命题。
正如我们已经看到的那样，这就会导致这样错误的结论，即任何两个个体，如果它们是同一的，它们就必然是同一的。
这个结论是不能从我们的模态逻辑系统推论出来的，因为可以证明：在这个系统中任何一个必然命题都不是真的。
由于这个证明是建立在扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ的基础上的，我们必须首先证明，这个定律是从我们的系统推出的。
公理５１的结果要这样表述：６。
ＣδＣｐｑＣδｐδｑ。
从６式通过替代δＭ‘推出公式：]６７。
ＣＭＣｐｑＣＭｐＭｑ，而从６７式通过ＣＣｐｑＭＣｐｑ，公理４的替代，和借助于假言三段论，我们得出较强的Ｍ－扩展定律：１９。
ＣｐｑＣＭｐＭｑ。
较强的Ｌ－扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ是通过易位从１９式推出的。
在第４２节中所遗留下未获解决的问题，即亚里士多德的扩
-- 250
８３２第七章 模态逻辑系统
展定律的较强的或较弱的解释应该容许哪一个的问题，这样得到了有利于较强的解释的解决。
任何必然命题都不是真的，这个证明现在将以充分精确的形式作出；前提：
P６。
ＣｐＬｐ１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ３。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ６８。
ＣｐｑｒＣｑｒ推演：
６８。
ｒＣＬｐＬｑ×Ｃ１８—６９]６９。
ＣｑＣＬｐＬｑ
３。
ｐｑ，ｑＬｐ，ｒＬｑ×Ｃ６９—７０]７０。
ＣＬｐＣｑＬｑ
７０。
ｐα，ｑｐ×ＣP７１—P６] ] P７１。
Ｌα希腊字母的变项α需要作些解释。
公式７０的后件ＣｑＬｑ，它与排斥的表达式ＣｐＬｐ同义，按照我们的规则，允许排斥前件Ｌｐ以及对Ｌｐ的任何替代。
但是，这不能依靠PＬｐ来表达，因为从一个排斥的表达式通过替代不能得出任何东西。
例如，Ｍｐ是被排斥的，但是ＭＣｐ——一个Ｍｐ的替代式——却是被断定的。
为了表达７０式的前件对于Ｌ的任何主目都是被排斥的，我使用希腊字母（称之为“解释变项”）以便与用拉丁字母标志的“替代变项”相区别。
因为命题α可以给予任何解释，PＬα代表一个一般的定律，并且表示，任何以Ｌ起始的表达式，即任何必然命题，都是应当被排斥的。
-- 251
５０。必然性和模态逻辑的四值系统A ９３２
这个结果，PＬα通过Ｌ的真值表得到证明，这个Ｌ真值表是由Ｎ和Ｍ的真值表按照Ｌ的定义建立起来的。
每个人在看到Ｍ９表之后都可以发现，Ｌ只以２和０作为自己的真值，而从来不以１为自己的真值。
由于运用模态逻辑于同一性原理而得出错误结果的问题，现在就容易得到解决了。
因为ＬＦｘｘ作为一个必然命题，不能被断定，它就不能用分离法从前提（ｔ）ＣＦＸｙＣＬＦｘＬＦｘｙ或
ＣＬＦｘＣＦｘｙＬＦｘｙ引伸出结论：（ｖ）
ＣＦｘｙＬＦｘｙ。
用真值表的方法的确可以证明（ｔ）应予断定，因为它永远得１，但（ｖ）却应当是被排斥的。
由于同一性原则Ｆｘｘ是真的，即Ｆｘ＝１，因此，我们就得出ＬＦｘ＝２，和ＣＦｘｙＣＬＦｘＬＦｘｙ＝ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ。
表达式Ｆｘｙ可以具有１，２，３或０四个值中的任何一个值。
如果Ｆｘｙ＝１，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ１Ｃ２Ｌ１＝Ｃ１Ｃ２＝Ｃ１＝１，如果Ｆｘｙ＝２，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ２Ｃ２Ｌ２＝Ｃ２Ｃ２＝Ｃ２１＝１，如果Ｆｘｙ＝３，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ３Ｃ２Ｌ３＝Ｃ３Ｃ２０＝Ｃ３＝１，如果Ｆｘｙ＝０，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ０Ｃ２Ｌ０＝Ｃ０Ｃ２０＝Ｃ０３＝１。
可见，（ｔ）
是被证明的，因为它的真值化归的最后结果总是１。
相反，（ｖ）
是被否证的，因为我们有：当Ｆｘｙ＝１时，ＣＦｘｙＬＦｘｙ＝Ｃ１Ｌ１＝Ｃ１２＝２。
-- 252
０４２第七章 模态逻辑系统
当奎因问到什么是下面推理中的错误时①，提供了上述困难的有趣并且有益的例子：（ａ）晨星必然和晨星同一。
（ｂ）
但是昏星并不必然和晨星同一（只是事实上与它同一）。
（ｃ）但是同样一个客体不能具有矛盾的属性（不能是Ａ又不是Ａ）。
（ｄ）所以，晨星和昏星是不同的客体。
由我们的系统对这个困难所提供的解决是非常简单的。
这个推理是错误的，因为前提（ａ）和（ｂ）不是真的，而不能被断定，因此结论（ｄ）不能从（ａ）和（ｂ）推出，虽然事实上，蕴涵式Ｃ（ａ）
Ｃ（ｂ）
（ｄ）是正确的（第三个前提作为真的前提可以省去）。
上述蕴涵式可以用下述方式证明：用ｘ表示晨星，而用ｙ表示昏星，那末，（ａ）是ＬＦｘ，（ｂ）是ＮＬＦｙｘ，它与ＮＬＦｘｙ等值，（因为同一是一种对称关系）
，而（ｄ）是ＮＦｘｙ。