落下正面的可能性与不落下正面的可能性是有区别的。
我们可以用Ｍ标志一个可能性，而用Ｗ标志另一个可能性。
带有肯定主目的命题“ｐ是可能的”
可以表达为Ｍｐ；带有否定主目的命题“非ｐ是可能的”可以表达为ＷＮｐ；或者第一个作为Ｗｐ，第二个作为ＭＮｐ。
这样，我们就获得两个偶然性函子，譬如说是Ｘ和，它们的定义如下：e８２。
ＣδＫＭｐＷＮｐδＸｐ和８３。
ＣδＫＷｐＭＮｐδｐ。
e不可能将这些定义译成日常的语言，因为我们没有两类可能性和偶然性的名称。
我们就将它们称为“Ｍ－可能的”和“Ｗ－可能的”
，“Ｘ－偶然的”和“－偶然的”。
这样，我们就e可以概略地说：“ｐ是Ｘ－偶然的”表示“ｐ是Ｍ－可能的并且Ｎｐ是Ｗ－可能的”
，而“ｐ是－偶然的”表示“ｐ是Ｗe－可能的并且Ｎｐ是Ｍ－可能的”。
从定义８２和８３，我们可以推出Ｘ和γ的真值表。
我们得出：当ｐ＝１：Ｘ１＝ＫＭ１ＷＮ１＝Ｋ１Ｗ０＝Ｋ１２＝２；１＝ＫＷ１ＭＮ１＝Ｋ１Ｍ０＝Ｋ１３＝３。
e当ｐ＝２：Ｘ２＝ＫＭ２ＷＮ２＝Ｋ１Ｗ３＝Ｋ１＝１；２＝ＫＷ２ＭＮ２＝Ｋ２Ｍ３＝Ｋ２３＝０。
e当ｐ＝３：Ｘ３＝ＫＭ３ＷＮ３＝Ｋ３Ｗ２＝Ｋ３２＝０；
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５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ７４２
３＝ＫＷ３ＭＮ３＝Ｋ１Ｍ２＝Ｋ１＝１。
e当ｐ＝０：Ｘ０＝ＫＭ０ＷＮ０＝Ｋ３Ｗ１＝Ｋ３１＝３；０＝ＫＷ０ＭＮ０＝Ｋ２Ｍ１＝Ｋ２１＝２。
e真值表Ｍ１５表明，不论是Ｘｐ还是ｐ，对于ｐ的某些值证明是e真的（Ｘｐ，当ｐ＝２；ｐ，当ｐ＝３）。
现在已经证明，ＫＭｐＭＮｐe具有恒值３；同样可以表明，ＫＷｐＷＮｐ具有恒值２。
这样，我们就得到两个断定的公式：８４。
ＸＫＷｐＷＮｐ和８５。ＫＭｐＭＮｐ。
e这表明在我们的系统中存在真的Ｘ－偶然命题和真的－偶e然命题。
我们就可以将在亚里士多德意义上的偶然性和我们的四值模态逻辑协调起来。
从Ｍ１５也得出，Ｘ－偶然性和－偶然性是孪生子。
如果e我们在Ｍ１５中用３代替２，用２代替３，那末，Ｘ就变成，而e变成Ｘ。
然而，Ｘ跟是有区别的，其区别的程度比Ｍ和Ｗe的区别更大，因为命题Ｘｐ和ｐ是相互矛盾的。
容易看到，借e助于Ｍ１５，下述等式是成立的：（γ）Ｘｐ＝Ｎｐ＝Ｎｐ和 （δ）ｐ＝ＸＮｐ＝ＮＸｐ。
e
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８４２第七章 模态逻辑系统
矛盾律和排中律对Ｘｐ和ｐ都是真的，也就是说，我们有：e８６。
ＮＫＸｐｐ和８７。
ＨＸｐｐ。
e这表示，一个命题不能同时既是Ｘ－偶然的又是－偶然的，e而任何命题或者是Ｘ－偶然的，或者是－偶然的。
Ｘ－偶然e命题的否定是－偶然命题，反过来，－偶然命题的否定是e eＸ－偶然命题。
这听起来好像是自相矛盾的，因为我们习惯于认为：那种非偶然的东西，或者是不可能的，或者是必然的，不可能和必然是与同一种可能性发生联系的。
但是，非Ｘ－偶然的，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｍ－必然的，这种说法是不正确的；应该说，那种非Ｘ－偶然的东西，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｗ－必然的，而那种或者Ｍ－不可能、或者Ｗ－必然的东西是与－偶然的东西等值的。
e同样的误解是由于围绕断定命题８进行的争论而引起的，
８。
ＣＫＭｐＭｑＭＫｐｑ，它在我们系统中是被断定的。
刘易士（Ｃ。
Ｉ。
Ｌｅｗｉｓ）在他某些模态系统中断定了公式：８９。
ＣＭＫｐｑＫＭｐＭｑ，但是拒绝了它的逆换式，即８式。
他使用了下述论证①：“如果ｐ和ｑ两个都真，是可能的，那末，ｐ是可能的并且ｑ是可能的。
这个蕴涵式不能逆换过来。
例如，可能读者将立即看到它，也可能他不立即看到它。
但是，不可能他既立即看到它又不立即看到它“。
这个论证是缺少说服力的。
这里“读者”
指的是什
①刘易士和朗佛（Ｃ。
Ｈ。
Ｌ。
Ｌａｎｇｆｏｒｄ）
：《符号逻辑》，（Ｓｙｍｂｏｌｉｃ
Ｌｏｇｉｃ）
，纽约和伦敦，１９３２年版，第１６７页。
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５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ９４２
么呢？
如果指的是个别读者，如Ｒ，那末，或者Ｒ将立即看到这个，或者Ｒ将不立即看到这个。
在前一种情况下，第一个前提“可能Ｒ立即看到这个”
是真的，但第二个前提是假的，而一个假的命题怎样可以成为可能真的命题呢？
在后一种情况下，第二个前提是真的，而第一个前提是假的，而一个假的命题不能成为可能真的命题。
公式８中的两个前提并不是两个都可证明的，因而用这种方式是不能驳斥这个公式的。
而如果“读者”一词指的是某些读者，那末，“可能某些读者将立即看到这个”和“可能某些读者将不立即看到这个”这两个前提可以都是真的，但是，在这种情况下，“可能某些读者将立即看到这个并且某些读者将不立即看到这个”
这个结论显然也是真的。
自然，将立即看到这个并且不看到这个的不会是同一读者。
刘易士所提出的例子并没有驳斥掉公式８，相反，它还证明了它的正确性。
但是，看来这个例子是选择得不适当的。
前提增加了“立即”一词，就丧失了它的偶然的性质。
说读者将“立即”看到或者不看到这个，我们涉及的是那在看见的时刻被决定的东西。
而真的偶然性涉及的是未决定的事件。
让我们就举钱币的例子，它与亚里士多德的海战的例子是同一类的。
两个例子都是关系到现在没有决定但将来要决定的事件。
所以，“可能落下钱币的正面”和“可能不落下钱币的正面”这两个前提现在可以都是真的，而“可能落下又不落下钱币的正面”这个结论任何时候都不是真的。
但是，我们知道，偶然性不能用Ｍｐ和ＭＮｐ的合取来下定义，但可以用Ｍｐ和ＷＮｐ，或者Ｗｐ和ＭＮｐ的合取来下定义，因此，上面引述的例子就不属
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０５２第七章 模态逻辑系统
于断定命题８。
所以，它不能否证它。
这一点是为刘易士和其他逻辑学家所不知道的，而在一个错误的偶然性概念的基础上，他们就排斥了所讨论的断定命题。
５３。其他某些问题A虽然我们的四值模态逻辑系统的公理和推论规则是十分显然的，但这个系统的某些结论却可能看起来是自相矛盾的。
我们已经遇到自相矛盾的断定命题：偶然命题的否定仍然是偶然的；作为这一类的另一个断定命题，我可以提出“双重偶然性”定律，按照这个定律，下述公式是真的：９０。
ＱｐＸｐ和９１。
Ｑｐｐ。
e问题在于去发现关于这样公式的某些解释，这些解释从直观上说是可满足的，并且能解释它们表面上的奇异。
当古典命题演算刚刚为人所知的时候，也出现过对它的某些原则，特别是对ＣｐＣｑｐ和ＣｐＣＮｐｑ的激烈的反对。
这些原则具体地表现了中世纪的逻辑学家所熟悉的、并且为他们用下述语句表述出的两个逻辑定律。