艾滋病毒的照片确实是很恐怖，一眼看上去冷不防会起一身鸡皮疙瘩。尤其是上面的绒毛状凸起，真是让人不寒而栗。
早上起来，觉得有些奇怪，窗外的光线似乎过于明亮，家里也静悄悄的。看看时间6:30，并没有比往常晚。轻轻拉开落地的窗帘，哇！好美的雪景！一夜悄无声息的雪，把一切都埋在雪白之中。对面楼里窗户放出的灯光显得那么温暖、那么柔和。房顶像是加盖了一床厚厚的被子，地上成排的汽车完全看不出原来的形状，就像是一堆堆巨大的雪白馒头。
家里有学生，每天都要早起。孩子上学很辛苦，孩子的妈妈、爷爷奶奶更是辛苦。他们起床都要比孩子早，准备好早点，送孩子上学校。一般而言，我不需要这么早起来，只是昨日难得一次回家吃晚饭，早早上床睡觉，今天也就醒得早了。
猛然想起今天是周六！爸爸轻轻拍了一下自己的脑门，暗自笑了笑，怪自己这一段时间都忙晕了。
悄悄打开孩子的房门，发现孩子也醒了。
“外面下了好大的雪耶！”爸爸轻声说，妞妞擦擦还有些惺忪的两眼，坐了起来。“是吗？”一骨碌爬起来，到窗户边，撩开窗帘往外望。“啊！太好了！我要去找小戴同学打雪仗！”
爸爸赶紧拉住妞妞，“吃完早饭再去也不迟啊！”心里想，今天的趣味数学是不是就从雪花讲起了。
吃完早饭。爸爸和妞妞有一小段休息时间。爸爸就开始了今天的趣味数学。“你知道为什么雪花都是六角形的吗？”爸爸问。妞妞摇摇头。
“严格地说雪花的基本形态是六角形的片状和柱状，只是由于柱太扁，我们看到的基本都是雪片。”爸爸说。
“水汽结晶属于六方晶系，也就是都呈正六边形。美丽透亮的水晶也如此，只不过水晶主要成分是二氧化硅（SiO2）晶体，冰晶是水（H2O）的结晶。六方晶系最典型的形状是正六面柱体。
所有六方晶系都具有四个结晶轴，每根轴就像一根树枝主干，上面可以长更多的枝叶。”爸爸一边说，一边用手指比画。
“其中三个辅轴在一个平面上，以60°的角度相交。你看这样就有了六根树干了。而第四轴（主晶轴）与三个辅轴形成的平面垂直。当水汽凝华结晶时，主晶轴比其他三个辅轴的发育要慢得多，所以雪花多是片状。”
“最短的反而叫主轴？”妞妞看来有些意见。
正说着，妈妈已经把准备好的早餐端到桌上。一家人围坐在餐桌旁，一边喝着热乎乎的豆浆，一边在妈妈刚烤出来的面包片上抹上自己喜欢的东西。妞妞喜欢抹草莓果酱，爸爸喜欢抹些蜂蜜，妈妈则喜欢花生酱。
“这样叫是对所有六方晶系而言的，你不是也见过长长的六角水晶柱吗？它们的主轴就比较长。”爸爸觉得小孩子发现问题的能力在成长。
“要知道每一根轴在长出更多的结晶的时候依旧严格按照三辅一主的模式，夹角严格保持在60°，而且这根长轴要扮演其中一根辅轴的角色。你看，每一朵小冰花都有六片花瓣，有些花瓣像山苏花一样放出美丽的小侧舌，有些是弧形的，有些又是箭形的或是锯齿形的，但都是严格的正六角形。两千多年前我们的古人就说过：凡草木之花多五出，雪花独六出。他们观察真的是很细致。”
“那什么东西是五方晶系呢？”妞妞问。
“晶体根据其在晶体理想外形或综合宏观物理性质中呈现的特征对称元素可划分为立方、六方、三方、四方、正交、单斜、三斜7类，是为7个晶系，并不存在你所说的五方晶系。”听爸爸说完，妞妞有些不好意思了。
“不过正五棱柱我们几何课上是有的。”
“那你知道正多面体吗？”爸爸想到欧拉公式是一个很有趣的话题，今天刚好说说。
“就是相等的正多边形构成的立体吧？”妞妞还是初中生，并没有学到那么多的立体几何知识，不过喜欢博览群书的孩子知道的总还是比较多一些。
“差不多吧。欧拉公式你知道吗？就是简单多面体顶点数+面数-棱数的结果肯定为2。如果用字母来表示，简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有这样的关系V+F-E=2。”爸爸很担心妞妞没有听说过这方面的知识。
不过还好，妞妞说：“我们老师让我们填过一张表，然后得出过这个公式。”
妞妞的学校是一所著名大学的附属中学。这里的校风严谨，老师认真和细致的程度常常让爸爸很感激。比如，他们每一科的老师每周都会给家长写一封信，说说孩子一周的成绩和不足。再比如，他们对孩子们课外阅读和课外知识的鼓励，等等。
“是不是这样的表。”爸爸吃完早餐，到书房待了一会儿，出来时手里拿着一张写满字的纸。这时候妞妞也用完餐了，正在边喝茶边和妈妈说话。妞妞一看，纸上写着：
V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数，V+F-E=2。
“差不多是一样的。我们算过，确实是符合这个规律的。只是我们都不知道这是为什么，按说它们之间是互相联系的。”妞妞稍微迟疑一会儿，“爸爸你能证明这个吗？”
“我可以选一种比较简单的情形来证明一下。”爸爸写下如下证明的时候说：“你一定知道多边形的内角和公式是（边数-2）×180°。”
证明：
将图中多面体的底面ABCDE剪掉，拉开伸展成平面图形，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量都发生了变化，而顶点数、面数、棱数等不变，故所有面的内角总和不变。
设左图中共有F个面，分别是n1，n2，…，nF边形，顶点数为V，棱数为E，则n1+n2+…+nF=2E，这是因为每一条边都充当了两个多边形的边。
左图中，所有面的内角总和分为每个面计算为：
（n1-2）180°+（n2-2）180°+…+（nF-2）180°
=（n1+n2+…+nF-2F）180°
=（2E-2F）180°
=（E-F）360°。
右图中，尽管变形，但是角度总和不变，所有面的内角总和为：
V上·360°+（V下-2）180°+（V下-2）180°（剪掉的底面内角和）
=（V上+V上-2）360°=（V-2）360°。
（E-F）360°=（V-2）360°。
整理得V+F-E=2。
爸爸讲完了，拍拍手，满意地看着妞妞。
“对于更复杂一些的立方体，可以把它们切割成一个个这样的相对简单的形状来证明。不过要强调妞妞记住的是欧拉公式并非对任何多面体都成立。比如，一个正方体中挖去一个小的正方体，数一下就知道V-E+F=4。要是把小立方体上下都挖通，则V-E+F=0。实际上我们把立方体的V+F-E这个值叫作欧拉示性数，记为f（p）。只有简单凸多面体欧拉示性数f（p）=2，所以欧拉公式只是f（p）的一个特例和简化而已。”
妞妞有些困惑。爸爸看出来，接着往下说：“比如，在大正方体的一个表面中间粘贴一个小正方体，就形成了一个新的简单多面体，顶点数16，棱数24，面数11。欧拉公式也不成立，对不对？这是因为它凹进来了，明白吗？”
“那么欧拉公式到底在什么条件下才成立呢？”妞妞急切地问爸爸。
“经过许多数学家的研究，发现只要多面体是实心的（里面没有空洞），只有一个连续的凸外表面，并且这个表面可以变形成为球面，那么欧拉公式就成立。”“哦！原来如此。”妞妞松了一口气，心里想：这些东西看上去很简单，实际上好复杂。
“欧拉示性数是一个立体不管如何变形都会保持不变的一个值。比如，一个多面体，只有一个外表面，而且外表面可以变形为环面（和汽车轮内胎相似），那不管多面体如何变形，都有V-E+F=0。前面说到的正方体中挖去一个小的长方体，上下都挖通，就是这样的一个例子。”
“这就是橡皮几何啊！”妞妞记起来原来说过的东西。
“是啊，就是拓扑学研究的内容。”爸爸又想起来一些吓人的东西。“你知道很多病毒都是正二十边形吗？比如，SARS病毒、艾滋病毒。”
“啊！是吗？这么可怕！”当看见爸爸拿出来的照片的时候，妞妞惊讶得捂着嘴大声惊呼。
恐怖的艾滋病毒
要说SARS病毒示意图还好，艾滋病毒的照片确实是很恐怖，一眼看上去冷不防会起一身鸡皮疙瘩。尤其是上面的绒毛状凸起，真是让人不寒而栗。
“哈哈，害怕了吧？美妙的正二十面体就藏在它们的身体里面。”爸爸声音故意放得很低沉，有些夸张的恐怖。“你知道世界上的正多面体只有5种吗？这或许就是两种病毒都长成正二十面体的理由哦！”
“不可能吧！正多边形可以有任意多，正多面体只有五种？”妞妞明显是不信爸爸的话。
“爸爸说的是真的！早在两千年前的古希腊，柏拉图就发现了这个事实。爸爸证明给你看。”说着，爸爸一边说，一边开始写下如下的证明。
证明：对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有m个边相遇，顶点数为V，面数为F，边数为E。所有变量都是整数。这样就有：
n×F=2E（1）和m×V=2E（2）。
（1）的右边系数是2因为每边出现在2个面中，（2）的右边系数是2因为每边通过2个顶角。
把（1）和（2）代入欧拉公式V+F-E=2中，就得到：
显然n≥3，m≥3，因为多边形至少有三边，而在每顶角处也至少有三边。
但n>3，且m>3又是不可能的，因为那样就要有，
所以m和n中至少有一个等于3。
设n=3，m不可能大于5，因为若如此，，就有矛盾了。
有m=3、4、5，于是E=6、12、30，而F=4、8、20。
这是正四面体，正八面体和正二十面体。
同样理由，设m=3，那么n=3、4、5，于是E=6、12、30，而F=4、6、12。
这就给出了正四面体，正六面体（立方体）和正十二面体。
“太不可思议了！”妞妞惊呼道。
“这个证明其实已经挺简单的了。不过还有更简单的证明。”爸爸微笑着一边说，一边写下一些文字。
“正多面体就是各个面都是相等正多边形的多面体。先来看看什么样的正多边形可以构成正多面体的面。
“设正多边形内角为A，多面体顶角是正n面角（n≥3），那么显然应该有n×A<360°，所以A<120°，否则无法构成一个多面体。
“所以正多面体的面只能是正三角形，正四边形和正五边形。边数更多时A就越大，不成立了。
“讨论情形有：如果是正三角形，则A=60°，n=3，4，5；
如果是正四边形，则A=90°，n=3；
如果是正五边形，则A=108°，n=3。
“这就是上面的五种正多面体。如果要进一步算出它们的顶点数、边数和棱数，只需要简单套用欧拉公式，这里就不说了。”
妞妞不说话，安静地琢磨着这个简单证明中的妙处。
“在最后我们来讨论一个比较难的问题。你看，足球是由二十个正六边形、十二个正五边形组成。若从正二十面体棱边的三分之一处切去十二个角，就是个足球。”
“对呀！”妞妞问，“你的问题是什么呢？”
“如果只知道足球表面是由正五边形（黑皮子）和正六边形（白皮子）的皮革拼缝成的，要你根据欧拉公式计算一个足球共有多少个这样的五边形黑皮子和六边形白皮子，你会算吗？”
妞妞想了想，摇摇头。爸爸说：“我来讲给你听听看。”一边说，一边写下一些关键的证明文字。
“足球是简单凸多面体，满足欧拉公式F-E+V=2，我们还是用F、E、V分别表示面、棱、顶点的个数。
“设足球表面正五边形（黑皮子）和正六边形（白皮子）的面各有x个和y个，那么我们有：
“解得x=12，也就是有12块正五边形的黑皮子。不过我们还不能解出正六边形的白皮子数量。不过，别急，我们看黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的。而对白皮子而言，每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起，黑白交叉。
“所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有60×2=120条边。
“120÷6=20，共有20块白皮子。”
“确实有意思。”妞妞扭头看了看窗外，“爸爸，我想出去打雪仗，你和我们一起玩吧！”
雪花又开始无声地飘落。
窗外有人在拍照，有人在扫车。雪地里一大群孩子们叽叽喳喳在堆一个巨型的雪人，还有几个在远处的小花园打雪仗。
多么难得的快乐时光！让孩子们撒撒欢吧！