日历就是利用余数来进行分组的一个例子。一周有7天，因此可将日期分为7组，每组对应一周中的一天。这样，按组竖向排列，就可得到一份月历。
5.2.1 n天后是星期几
如图5-2所示是2013年5月的月历，今天是5月3日，星期五，则7天之后（3＋7）为5月10日也是星期五，而14天之后（3＋7＋7）为5月17日、21天之后（3＋7＋7＋7）为5月24日、28天之后（3＋7＋7＋7＋7）为5月31日都是星期五。从图5-2中也可看到，这几天都位于月历星期五的同一列中。
图5-2
知道了这个规则，则可以很容易地推算出n天之后是星期几。
例如，若想推算出100天之后是星期几，则可考虑首先到了接近第100天时为星期五的那一天：在今天（5月3日）之后的第7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98天都为星期五。接着，可继续向下推算：
由此可知，今天之后的第100天为星期日。
其实，不用按上面的推算过程，通过计算余数可以更方便地计算出n天后为星期几，计算公式如下：
在以上算式中，我们不关注商q，只需要关注余数r即可。n除以7后的余数在0～6这7种情况，因此可分为7组，将这7个余数排列起来，再与当前的星期数对应，即可快速推出n天后为星期几。
例如，在上面计算100天后为星期几，可按以下公式进行计算：
接着按下面的形式列出余数0～6，将余数为0的下方填写与今日对应的星期数，然后向后循环，即可得到如图5-3所示余数与星期几的对应关系。
图5-3
当余数为2时，从上面的对应关系中得到100天后为星期日。
有了这种通过余数来推算星期几的方式，则可计算出任意天数后为星期几。例如，今天为星期五，1000天之后为星期几？
根据图5-3所示对应关系可知，1000天后为星期四。
需要注意的是，图5-3的对应关系是变化的，余数为0时对应的是当天的星期数。
5.2.2 下月的今天是星期几
如果要计算下月的今天是星期几，该怎么办？这时，由于没有距今天的天数，就不能直接使用前面介绍的方法进行求余数了。
其实，要计算星期几，最终还是必须转化到求7的余数上来。因此，要计算下月的“今天”是星期几，可以先计算下月的“今天”距离今天是多少天，然后就回到上面介绍的通过天数推算星期几的方法中了。
那么，下月的“今天”是怎么定义的呢？如果今天是2013年5月3日，下月的“今天”就是2013年6月3日，即只是增加月份，日期数值不变。不过，要考虑一个问题，就是如果今天是2012年12月3日，则下月的“今天”应该是2013年1月3日，年、月数值都要变化。
下月的“今天”距今天的天数是多少呢？
根据历法，每年的1、3、5、7、8、10、12月为大月，每月有31天，每年的4、6、9、11月为小月，每月30天，每年的2月的天数根据平年、闰年分别为28、29天。
根据以上历法知识，若今天是2013年5月3日，则下月的“今天”为6月3日。由于5月有31天，因此今天距离下月“今天”的天数也为31天，则可通过以下算式计算出余数：
余数为3，查询图5-3所示对照关系，可知道2013年6月3日为星期一。打开日历，可看到2013年6月的日历如图5-4所示，在这里可看到2013年6月3日为星期一。
图5-4
5.2.3 10年后的“今天”是星期几
增加点难度，10年后的“今天”是星期几，该怎么计算？
理论上，同样只需要计算出10年后的今天距离“今天”的天数，就可以很简单地推算出是星期几。可是，跨度为1月的天数比较好计算，也就可以很容易地推算出下月的今天是星期几。如果要横跨几年，该怎么计算呢？
可以从另一个角度考虑，我们只要寻找一个求公元n年m月k日是星期几的一个公式即可。这样，就不必再去关注两个日期之间相距的天数了。
前面我们已经介绍过，根据月大、月小、平年、闰年等关系，每月的天数是不一样的。月大、月小是有规律可循的，平年、闰年有规律吗？
我们知道，公历的年是以寒暑更替的周期（俗称回归年，即太阳相继两次过春分点所经历的时间）为基础的，但是，一回归年有365天5时48分46秒，其天数不是整数。如果一年的天数不是整数，对人们来说，使用起来很不方便。为了解决这个矛盾，公历制定了相应的设置闰年的法则，根据该法则就可判断是否为闰年。设年份为n，则判断n是否为闰年的法则如下：
如果n能被100整除，且能被400整除，则n是闰年；
如果n能被4整除，但不能被100整除，则n是闰年。
例如：
2000年是闰年（2000能被100和400整除）；
1996年是闰年（1996能被4整除，不能被100整除）；
1900年是平年（1900年能被100整除，但不能被400整除）。
根据历法知识我们知道，平年一年是365天，闰年一年是366天，则要求公元n年m月k日是星期几，只需要推算从公元1年至公元n年一共经历了多少个闰年。根据判断闰年的法则，可使用以下公式计算出n年共经历了多少年闰年：
在以上公式中，方括号表示计算的结果取整。以上算式中第一项表示能被4整除的年份数量，其中也包含了能被100整除的年份，但是能被4整除，且能被100整除的年份不是闰年，因此应减去能被100整除的年份（以上算式的第2项）；但是这时减去能被100整除的年份时，将能被400整除的年份数量也减掉了，而这部分年份是闰年，因此还要加回去，第3项就是得到能被400整数的年份数量。
由于是计算到n年经历了多少年闰年，当然就不能将n年包含在内，所以使用（n－1），实际是判断从公元1年至公元n－1年（含）共有多少个闰年。
根据上面的公式可推出下面的公式，计算出距离公元1年1月1日的天数。
在上面公式中n为年份，c为公元n年m月k日在n年中的天数。
通过以上公式计算出S值，再用S值除以7，得到余数，余数为1则是星期一，余数为2则是星期二……，余数为0则为星期日，如图5-5所示（这是因为公元1年1月1日为星期一，所以推算得出图5-5所示的对应关系）。
图5-5
其实，上面的公式还可以简化为以下形式（即不乘365）：
根据以上公式，计算2013年1月1日为星期几，首先计算S值：
接着将S的值除以7，得到余数：
所以，从图5-5中的对应关系可查得，2013年1月1日为星期二。
有了这个公式，计算10年后的“今天”是星期几就简单了。假设今天为2013年5月3日，则10年后的“今天”就是2023年5月3日。将数据代入上面的公可计算出S的值：
在上面公式中，后面那一串算式是计算2023年5月3日的天数，其中，有1、3月为大月，每月31天，2月为平月28天，4月为小月30天，5月还包含3天。
接着将S的值除以7，取余数：
从图5-5的对应关系可得出，10年后的“今天”（2023-5-3）为星期三。查询日历可看到，计算结果是正确的，如图5-6所示。
图5-6
可见，不管怎么变化，求星期几的操作都是以求余数为基础的。