在现代数学中，概率论是非常有用的，这门学科在现代生产、生活及军事等各个领域中都有广泛的应用。下面我们来看一个用“概率”鼓舞士兵士气的故事。故事的主人公叫狄青，是北宋仁宗时期有名的大将。
最初，狄青只是宋朝防守陕西保安（现志丹县）的一名士兵。当时，西夏多次打败宋朝的军队，后来，狄青主动要求担任先锋出战。他披头散发，带上一个狰狞的面具，带头冲入敌阵，把敌人打败。由于狄青屡立战功，被提升为将军。
后来，范仲俺召见了狄青，勉励他认真读书。从此狄青刻苦读书，精研兵法，之后打仗更有勇有谋，终因战功显赫被提升为掌管全国军事的枢密使。
6.2.1 狄青的计谋
在宋仁宗初年，我国南方少数民族的领袖侬智高自立政权，进攻现在的广西一带地区，占领了大片土地，打了不少胜仗，北宋朝野震动。为了平息叛乱，宋仁宗派狄青作为大将前去征讨侬智高。由于前期宋朝士兵与侬智高的士兵作战时基本上都是打败仗，宋朝士兵的士气非常低落。
狄青为了克服将士们的畏敌情绪，想出了一个办法。他立了一个神坛，当着全体将士的面向上苍祷告：“如果这次上天保佑一定能打胜仗，那么，我把手中的一百枚铜钱扔到坛前地上时，钱面（铸文字的一面）一定全部朝上。”说完，在众目睽睽之下，他把100枚钱全部抛向地面，结果这100枚钱竟全部朝上，如图6-7所示。
于是全军欢呼震天动地。狄青命亲兵取来100枚大钉把钱全部钉在地上，任士兵观看，并说：“待破敌凯旋，再来感谢神灵。”
将士们都认定肯定有神灵护佑，于是士气大振。所以在战斗中以一当百，奋勇无敌，果然连战皆捷，迅速平定了侬智高的叛乱。
图6-7
6.2.2 全为正面的概率是多少
为什么兵士们认为100枚铜钱的钱面全部朝上就一定受到神灵护佑呢？
这是因为，大家知道100枚铜钱全部朝上几乎是不可能的。下面我们来分析一下。
当我们抛下1枚铜钱时，有两种不同结果，钱面可能朝上，也可能朝下，如图6-8所示。
图6-8
根据前面介绍的概率基础知识可以知道，当抛下1枚铜钱时，有两个基本事件：钱面朝上和钱面朝下。因此，钱面朝上的概率为：
如果抛2枚铜钱，钱面朝上的概率为多少呢？先来看一下抛2枚铜钱有几个基本事件？如图6-9所示，抛掷2枚铜钱时共有4种基本事件。
图6-9
假设铜钱有正、反两面（字面为正面，无字面为反面），从图6-9中可看出，4枚铜钱共有以下4种基本事件：
（正、正）；
（正、反）；
（反、正）；
（反、反）。
从4种基本事件中看出，两枚铜钱全部正面朝上的概率为：
另外，从上面列出的4个基本事件可看出，（正、反）和（反、正）这两个基本事件中，都是1枚铜钱钱面朝上、1枚铜钱钱面朝下。因此，如果不对两枚铜钱进行顺序编号，就会将这两种基本事件看作为同一种基本事件了。换句话说，在列举基本事件时，必须对铜钱进行编号。
继续扩展，抛3枚铜钱时，可有以下8种基本事件：
（正、正、正）；
（正、正、反）；
（正、反、正）；
（正、反、反）；
（反、正、正）；
（反、正、反）；
（反、反、正）；
（反、反、反）；
在这8种基本事件中，3枚铜钱全部钱面朝上的概率为：
可以看出，当抛3枚铜钱时就出现了8种基本事件，要列举出3枚铜钱正、反两面组合成的基本事件是比较麻烦的，并且很容易遗漏。
其实，对于作为程序员的我们来说，可以用更容易理解的方式来解决这个问题。可以将铜钱的正、反面看作二进制中的0和1。多枚铜钱可按编号组合得到不同的基本事件，此时一枚铜钱就可看作为一位两进制位。
这样，当抛1枚铜钱时，就相当于是1位二进制，有两种可能，即0或1（钱面朝上或钱面朝下），即有两种基本事件。
当抛两枚铜钱时，就相当于是两位二进制，有4种可能，分别是00、01、10、11，即有4种基本事件。
当抛3枚铜钱时，就相当于是3位二进制，有8种可能，分别是000、001、010、011、100、101、110、111，即有8种基本事件。
类似地，当抛4枚铜钱时，就相当于是4位二进制，有16种可能，即有16种基本事件。
依次类推，当抛100枚铜钱时，就相当于是100位二进制，有2100种可能，即有2100种基本事件。
求出基本事件数量后，再计算其概率就很简单了，只需要取其倒数即可。因此，当抛100枚铜钱时，钱面全部向上的概率为：
可以看出，这个概率值非常小，趋近于0。
因此，100枚铜钱钱面朝上几乎是不可能的事。而狄青抛掷100枚铜钱时，这种可能性微乎其微的事竟然发生了，将士们自然认为是有神灵护佑啰。
6.2.3 必然还是偶然
通过前面的计算，我们已经知道要使100枚铜钱钱面全部朝上的可能性微乎其微，其概率接近0。虽然当时的兵士们还没有计算概率的数学知识，但根据大家日常生活中的基本认知，兵士们还是知道要使100枚铜钱钱面全部朝上的可能性非常小。
当然，狄青也知道这种可能性微乎其微，可他怎么会当着全体将士的面抛掷这100枚铜钱，并有信心使这些铜钱钱面全部朝上呢？
现在我们再来看一看，狄青带着部队凯旋回来的情况吧。当狄青命令把100枚钉子拔起时，他的下属将士们发现，原来，这些钱币都是狄青特制的，铜钱的两面都铸成了钱面！这样，不管铜钱两面中的哪一面朝上，都是钱面朝上。
也就是说，100枚铜钱全部前面朝上是个必然事件！
在正常情况下，100枚铜钱钱面全部朝上是一个偶然事件（只是2100种基本事件中的一种）。但是，狄青通过特制铜钱，将这种偶然事件转换成了一种必然事件。
狄青只是利用了人们的思维定势，利用了人们敬畏鬼神的迷信心理，机智地采用偷梁换柱的手法，骗过了他的部下，鼓舞了士气，赢得了胜利。