通过前面几个例子可看出,即使是很简单的几何图形构造,也可演化为一个有趣的问题。在本节中,我们再来看几个有关图形剪切、拼接的例子。
要把一个几何图形剪成几块形状相同的图形,或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形,完成这样的图形剪拼,需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小及它们之间的位置关系。
10.4.1 均分三角形
如何将一个等边三角形均分为8个形状、大小都一样的三角形?
首先可以想到的是,在等边三角形的三边分别取中点,然后连接这些边的中点,得到如图10-18所示的图形。
图10-18
经过一次分割,在图10-18所示图形中得到了4个形状、大小都相同的三角形,并且这4个三角形都是等边三角形。
接下来就好办了,要得到8个形状、大小都相同的三角形,只需要将图10-18所示的4个等边三角形分别切分为2个对称的三角形。即将4个三角形中的每一个都通过一个角作一条平分线,如图10-19所示,就得到了8个形状、大小都相同的三角形了。
图10-19
当然,也可以做出与图10-19所示不同的图形,只要从图10-18所示的4个三角形的任一角作平分线,都可将一个等边三角形平分为形状、大小相同的两个三角形。
对要求进行一下变化,如果要将一个等边三角形均分为9个形状、大小都一样的三角形,该怎么分割?
其实,要将等边三角形均分为9份,可以先将每条边平均分为三等份(图10-18中是将边均分为两等份),然后再把分点彼此连接起来,就可得到如图10-20所示的图形了。从图中可看到,这个等边三角形已被分割成9个形状、大小完全相同的三角形了。
图10-20
可以看出,对于等边三角形的分割比较简单,下面我们再来看看对矩形图形的分割。
10.4.2 拼接正方形
如图10-21所示是一个由多个正方形块组成的平面图形,其中,左上角缺少了4个方格。现在能不能将该图分割成3块,然后再拼接成一个正方形?
图10-21
设每一个小方格的边长为1。
首先对图10-21进行分析。这是一个残缺的正方形,边长为6,其面积应该为36。但是,由于左上角缺了4个方格,因此该图的面积为32。因此,最后拼接成的正方形的面积也应该是32,才能完成题目的要求。
原图形面积是32,所以拼成正方形的面积也应是32,即正方形边长应为,不是一个整数。如果正方形的边长不为一个整数,对图10-21的图形的分割就比较麻烦,感觉不好着手。
我们还是从最后拼接成的正方形的边长入手,根据前面的计算其边长应该为,即。图10-21所示图形是由若干个边长为1的小正方形组成的,而边长为1的小方格的对角线长为,如图10-22所示。
图10-22
如果要使拼接后的正方形的边长为,我们可以考虑用4个小方格的对角线连线来作为边长。
有了这个思路,就可考虑将图10-21作如图10-23所示的分割线了,图中从左上方向右下方的虚线AB就是分割线。线段AB的长就是。
图10-23
这样,我们就找到拼接正方形的两条边了(分割以后就是两条边长为的边)。
接下来还需要分割出正方形的另两条边。在图10-23所示分割图形中,虚线AB右上方是一个规则的图形,并且最长边就是AB,再次分割的可能性小。而左下方的图形不规则,且面积较大,还可从多个角度找到分割边长为的组合。例如,制作一条与AB平行的、从左上角到右下角的分割线,得到如图10-24所示分割结果(为了辨识方便,这里将图形的角部分别添加上一些字母标识)。
图10-24
将图10-24通过虚线分割的三部分分离出来,得到如图10-25所示的三部分。
图10-25
在图10-25中可以看到,虽然有4条边的边长为,但是,由这三个图形显然拼接不了一个正方形。因此,图10-24中设置的CD分割线不正确。
仔细观察图10-23,左上角有一个边长为2的缺口,而经过AB线分割后,右下角也有一部分边长为2。这时,可考虑将右下角边长为2的部分切割嵌入到左上角。因此,可考虑绘制如图10-26所示的一条分割线CD。
图10-26
图10-26所示的两条分割线可将该图分割为如图10-27所示的三部分,感觉这三部分应该能拼接成一个正方形了。
图10-27
在图10-27所示的三个图中,将(b)图放在(a)图左上方,将(c)图放在前两个拼接图形的左下方,即可得到一个正方形,如图10-28所示。
图10-28