科学家和科学史家大都把数学化视作近代科学的主导因素。丹齐克一部名著的书名即谓“数——科学的语言”。[1]一个世纪之前，迪昂在《物理学理论的结构》一篇，开篇即明称“理论物理学是数学物理学”。[2]他接着说，到今天，健全心智几乎不可能再否认物理学理论应该用数学语言来表达。近代早期，尚有培根、波义耳等少数论者持不同看法，但不同看法逐渐消散。因为，如克莱因所称，到十八世纪，“自然科学的分支整个地转变成基本上是数学性的学科了。科学也越来越多地使用数学术语、结论和程序，如抽象、推理等，这些被看作是科学的数学化”。[3]同样的说法也是科学家挂在嘴边的。这里只引一句霍金：“一个物理理论即是一个数学模型。”[4]我们还可以继续引用，以致无穷。实际上差不多没有哪位物理学家或科学史家不认为数学化是近代科学的主要特征。明末清初西方科学渐入东土之际，有识之士也慧眼明见数学的枢机作用，徐光启是中国人最早领悟并介绍西洋科学的前贤，大概也是他最早认识到西方科学的精髓或基础在于“度数之学”，四库全书总目也说：“西洋之学，以测量步算为第一”。[5]
要了解科学的性质，我们就不能不对科学的数学本性做一番考察。
科学是在希腊—欧洲传统中发展起来的，应能设想，数学在源自希腊的西方思想—文化传统中具有特殊地位。克莱因在《西方文化中的数学》一书的前言里开篇即说：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量”。[6]就古代数学的发展来说，我们不会否认巴比伦人、埃及人、印度人、阿拉伯人、中国人的贡献，不过，我们这里谈论的主要不是数学学科的发展，而是数学在观念整体中的位置。古希腊的智慧取了一种特殊的形态，我们称之为哲学。希腊人的哲学兴趣和古希腊人对数学的偏爱显然密切关联。众所周知，柏拉图把算术和几何视作培养哲学家的最初两门预备课程，照柏拉图的说法，“数的性质似乎能导向对真理的理解。……学习几何能把灵魂引向真理，能使哲学家的心灵转向上方”。[7]据记载，柏拉图学园的入口处写着：不懂数学者不得入内。
到中世纪后期和近代早期，欧洲复兴了哲学—科学的热衷，这个时期对数学的重视越发显眼。中世纪晚期，柏拉图主义在一些智者那里获得重要影响。库萨的尼古拉宣称，数是事物在造物主心中的第一模型。不过，他仍然认为不可能用数学方式去把握自然。而罗吉尔·培根则相信大自然是用几何语言写成的。达·芬奇称说：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家。”哥白尼革命的一个主要动力是新柏拉图主义的信念：他的体系将揭示上帝创世的和谐对称的设计。罗吉尔·培根的话经伽利略重述而家喻户晓：“大自然这部书是用数学文字写成的”。在科学的数学化进程中，伽利略是转折点上的人物，因为他远不止于再次表达了新兴科学家的一个基本思想，而是开始实现这一思想。开普勒宣称世界的实在性是由其数学关系构成的。笛卡儿明言他最热爱数学，他记述了他1619年11月10日的那个著名的梦，在梦中他得到真理的启示，从此要把整个物理学还原为几何体系。“给我运动和广延，我将构造出宇宙。”笛卡儿把物质世界还原为由长宽高三维构成的广延，这是因为广延可以充分量化。物体的运动归根到底是力的机械作用，真实的世界是一个可以用数学表达出来的在时空中运动的整体。整个宇宙是一架庞大的、和谐的、用数学设计而成的机器。
近代科学首先在天文学和天体力学领域发展起来，这一事实与天文现象、天体运动适合数学处理关系极大。我们身边的事物极为繁杂，即使一片落叶，也受到无数因素的干扰，而相比之下天体的运动就“纯粹”多了，天体的实际轨道和理想的几何图形之间极少差异，因此最适合用数学来处理。正是数学在天文学中的成功运用鼓励牛顿把数学扩展到一切物体的运动上来。最后，达朗贝尔等人主张把力学视作数学的一个分支。
数与实在
数对我们来说是数字、用来进行数学推论的单位，但“数”另有一重含义，我们今天仍然能从命数、天数、气数、劫数这类词中体会得到。这里，数和命运、和某种超乎人们感知、掌控的客观者联系在一起：“天高地迥，觉宇宙之无穷，兴尽悲来，识盈虚之有数”。命运等意义不是附加到数这个概念上的，数的原始观念包含命运、神秘的规律之类。
在中国，数的观念是从筮占发展出来的。用龟甲牛骨之类占卜和筮占都是前理知时代的活动，两者是同时发展起来的抑或占卜在先筮法在后，学界尚有争论，但公认，到周朝以后，筮占越来越流行。从本书的论题看，龟卜和筮占最重要的区别在于前者是象征，后者是推衍。龟象自然成纹，个个有别，龟卜无须推衍，只凭直观，而卦象则是一些类别，分成八类或六十四类或某些类，筮占是通过推衍来进行的。此所谓“龟，象也，筮，数也”。[8]李零解释说：“‘象’是形于外者，指表象或象征；‘数’是涵于内者，指数理关系或逻辑关系。”[9]所谓“易”，就是筮数的体系，所以孔子说周易“达于数”。
数的观念体现了本体世界和现象世界的分离。数是涵于内者。在感应世界里，原无内外之别，现象/事物的交互作用，就发生在我们眼前。到理知时代，世界的规律作为数，隐藏到现象的背后去了。数不是我们为了方便从现象中归纳、概括出来的，数遵循着自己的规律循环替代。数这个观念和后世所说的自然规律十分接近。就数的运行决定现象世界而言，应当说，数世界才是实在，现象则是数运的展现，它既在空间中展现也在时间、历史中展现。数运不会因为现象而改变什么，尽管我们可以因为发现新的现象而修正从前我们对数运的断论，也就是说，从认识的角度看，现象是天数的消息；但从本体论上来说，现象只是副现象。本体世界是现象世界的原因。原因、原理，是更加真实的东西。在日常认识中，原因和结果是本体论上同一层次上的东西，或者都是现象，或者都是事物，在理论认识中，原因是本质，结果是现象。这是原因的理论意义：原理意义上的原因。
通过数的观念，世界不再被理解为现象/事物间的感应，而是被理解为实在世界的自行运转以及现象/事物随之运转。数标志着隐秘的、不可见的世界的结构和运行。互相发生感应的现象是在同一平面上的，与此不同，原理是隐藏在现象背后的，需要被揭示、被发现。隐藏在现象背后的才是世界的真相。由于现象和实在的分离，世界被给予一种深度。理论旨在发现潜藏在事物内部的原理或形式，从而具有“理论深度”。本体世界和现象世界的分离对理论建构具有最基本的意义，可说是理论的标志。例如，阴阳五行之成为一种理论，数（命运与循环）是其核心观念。
的确，感性的物质世界竟然体现着数字的抽象关系，这个发现令人惊异。毕达哥拉斯学派发现，发出和谐音的琴上，每根弦的长度必成整数比。这是一个著名的例子。乐音这样远离逻辑抽象而充满感性的现象竟然是由数决定的，这让远隔重洋的中国人同样感到惊异：“试调琴瑟而错之……五音比而自鸣，非有神，其数然也”。[10]天文学是最早系统运用数学的领域，其实，就数之为数运而言，它一开始就和天空有格外紧密的联系。希帕恰斯通过他的均轮、本轮模型，对“七大行星”的运行做出了相当准确的描述，使得对月食的预测精确到了一两个小时之内。不难类推，在其他形形色色的现象背后也同样有数运。今天的科学家们仍然为同类的事情惊诧不已。不同植物的花朵数目有的是3，有的是5，或者是8、13、21、34……这不是一串杂乱无章的数字，其中每一个数字都是前面两个数字之和。大自然怎么会用这样意想不到的数学游戏来安排花朵呢？“数学模型或公式突然之间就把那些它们从未打算介入的领域……梳理得井井有条，这种经验是十分令人难忘的，而且极易使人相信数学的神奇能力……在科学的童年时代，对上述神奇的自然本性所做的草率结论，并不会使我们感到惊奇。”[11]
本体世界是不可能被直接看到、直接经验到的，我们只能通过推论、论证通达它，通过理智的力量通达它。前面曾说到，理论工作和侦探工作颇为相似。不过，两者有一个根本的区别。侦探推论出来的物事，有可能后来被发现了，成了能够直接看到的东西。理论所对待的原理，却是原则上不可能被直接看到、被直接经验到的。阴阳之为事物背后的元素或动力，永远隐藏在事物背后，我们只能或通过神秘的直觉或通过理智的力量通达它。这一点前人曾从其他角度谈论过无数次了。并且，正是这一点让理论家们赋予理智以一种更高的地位，因为理智才能通达世界的实在。如果把肉眼所见称作具象，那么，理性所把握的就是抽象的东西。文德尔班说，
自然研究的出发点尽管也是很富于直观性的，它的认识目的却是理论，归根到底是一些关于运动规律的数学公式；它以严格的柏拉图方式把有生有灭的个别事物当作空虚无实的假象抛开，力求认识合乎规律的、无始无终的、长住不变的、支配一切现象的必然性。它从有声有色的感性世界中布置出一个秩序井然的概念体系，要求在其中把握真正的、藏在各种现象背后的万物的本质……这是思维对感觉的胜利。[12]
数运与数学
上引文德尔班的这段话，评论的是近代科学。但“只要认识目的是理论”一语其实已经提示，凡是理论，都落到他的评论之中。无论是阴阳五行还是现代物理学，都是用数这类抽象元素之间的关系来统领各个不同领域中的事物与现象。不过，数运里的数观念不尽等同于数学里的数观念。数运观念中包含了大量的感应成分，数运理论中的数充满了象征，即数与现象的直接联系，现象与数的一一对应。这是原始的数观念的一个特点。由于数与其他现象之间的象征关系，数运看上去往往像是纷繁现象中的一组现象，数运之学看起来更像是逻辑和现象概括的混合。而数学中的数却洗净了象征意义，把数完全从现象世界中解放出来。
邹衍和董仲舒对数学并未做出任何贡献，毕达哥拉斯学派则不同，他们是一些真正的数学家，发现了包括勾股弦定理在内的很多几何、数学关系，不妨说数论研究就是毕达哥拉斯学派开始的。但即使在毕达哥拉斯那里，对数的兴趣也不是单纯的数学兴趣，在他们那里，对数字本质的理解是和对神、对世界上各种其他现象的理解交织在一起的，甚至有论者称他们的数学思辨“都是从宗教的灵感中引申出来的”[13]。“1”代表理性，因为理性是一整体。“4”是正义，[14]它是第一个偶数（even number，“平等的数”）的自乘，而正义包含着互相酬报。[15]“7”是智慧之神密纳发，因为在十个个位数中，只有“7”既不为它所包含的数所产生，也不产生其中任何一个数。“10”是一个完美的数，“10”包含了相同数目的质数和合数，是前四个正整数之和，因此可以图示为神圣三角。在这种种提法中，我们看到数学之数和现象的混杂，实际上，“数是万物的本源”这一毕达哥拉斯原则的主要论据就在于万物与数相似。
数运是事物的高度概括。数运之为概括，依赖于现象的相似或同构，五行概括了五官、五音、五色。这种对应的同构自有经验的基础。正义和平等者相乘似乎有某种联系，乐音和弦长更是有明确的关系。所以古人说“同类相从，同声相应，固天之理也”。[16]然而，真正的数学和科学所要求的却不是这种现象上的相似，也不是数的结构和现象的直接对应。花朵的数目是3、5、8、13、21、34……，这个奇异的序列是需要解释的，后来也的确连同生物学中的另一些同类奇异现象得到了解释，那是研究生物系统的复杂性的成果，而不是我们找到了哪种基因结构和这个斐波那契级数直接对应。自然也许是简单的，但“自然的那些简单性并不直接呈现在我们面前，而是以其独特的、难以捉摸的方式表现出来”。[17]对于我们的感性来说，看上去相同就是相同，看上去不同就是不同。鸽子、蝙蝠、蚊子的翅膀看上去是一类东西，我们就把它们归为一类东西。借助数学之类的推理，我们才穿透现象的拦截，达乎结构性的知识。
洗去了现象象征，数才变成纯粹的数，数学之数。数字不象征什么别的东西，无涉乎数以外的东西。数字本身没有内涵，每一个数的“意义”都由其他的数来界定，数字之间的关系是纯粹外部的关系。如此获得自主的数学是“科学的”数学。科学的数学不受现象的束缚，从而获得自治，可以安然地按照逻辑来发展。正多面体正好有五种，但这不是从五行推衍出来的，而是在数学内部加以证明的。
今天我们说到的数学，是洗去了象征的、纯粹的数之间的演算。从一个算式通往另一个算式是证明，或曰严格的演绎证明（demonstration），而不可借助任何其他东西如象征、想象。证明方法在希腊最为发达，欧几里得几何学是最突出的成就，即使在今天，用《几何原本》来做初级教育的教科书也无大碍。像希腊思想的其他因素一样，数学对希腊人也是舶来品，来自巴比伦、埃及，但是，像其他舶来品一样，数学到了希腊，改变了自己的面貌。“从一开始，希腊数学同埃及、巴比伦的数学就有区别；……希腊几何学所追求的目标是抽象的几何知识、规范的推理和证明方法。”[18]与之对照，如史蒂芬·巴克尔所言，“作为东方数学中的一种典型做法，巴比伦人、印度人和阿拉伯人并不怎么关心给出有关的证明来，更不必说把他们关于数的知识组织成公理化形式的系统了。”[19]数学史家斯科特表达了相同的看法：“在整个东方数学中，任何地方都找不到丝毫的证据可以看出有我们所称之为证明的那种东西。”[20]斯科特接着引用Sedgwick和Tylor说，印度数学家对我们所说的数学方法是没有什么兴趣的。[21]斯科特所说的东方主要是指印度，但也包括中国：在同一章的最后他也说到，“在中国人手里，也像在印度人手里一样，数学这门学科并不是那么抽象的”。研究中国古代史的许倬云也说：“中国的数学发展就好像是为了做实际的四则杂题一样发展来的，并不是为了抽象的思考而发展的。”[22]他还说到十部算经里大约有三千道题目，“没有所谓推演、定理或公理……当时训练数学家的方式不管抽象思考，只管计算，通过这些训练的学生就成为算学博士，但算学博士的地位在所有官吏里最低，待遇也最差。筹算之士不能进入知识分子的阶层，不过与医师技工一般”。[23]
获得这种自主性的数学成为一种自主的语言。语言和现实不是两种事物，可以类比：相似、相同、不同。语言是现实的一种呈现方式。对于自主的数学来说，自然现象不再通过类推的方式和数发生联系。欧几里得发现，光线在镜面上发生反射的时候，反射角等于入射角。这和一条几何定理相应：在一条直线XX’同一边的任意两个点A和B，经过该直线上的一点P相连，当∠APX＝∠BPX’，连线APB最短。
在这里，欧几里得并非发现有一种光学现象和一种几何现象相同，而是在表明，光的反射本来就是一种几何现象，或更确切说，几何语言才能更准确地更有效地描述光的反射，从而使我们能够对光线的静态关系进行更深入的研究。
在欧几里得的论证中，现象和数理之间的相应获得了我们现在所习惯的科学形式，一种完全无涉感应的形式。同时，它也不是对已知现象的事后追加的概括，而是服从于自主原则的理智活动。作为一种语言的数字既不是与其他事物平级的一种特殊事物，也不是现实事物的概括。语言的产生包含概括过程，但语言不是用来概括的。几何定理并不是光学定理的更高层次上的概括，而是，几何语言使得光线的关系能够用几何语言来描述和研究。
科学采用数学语言以构建科学理论。科学是理论，但理论并不都是科学理论。数把阴阳五行造就为理论，但没有把阴阳五行造就为科学。我拿阴阳五行理论和近代物理理论对照，拿数运和数学对照，绝不是说阴阳五行是一种科学。科学理论能够预言彗星的到来，能够探知化石中埋藏的远古世界，这和五行理论通过数运概括以鉴往知来不是一类。这种鉴往知来直是“谬言数有神理，能知来藏往，靡所不效”，多半是些“妖妄之言”（徐光启语）。李约瑟把邹衍视作中国古代科学思想第一人，是弄混了理论与科学。
尽管数运之数和数学之数有重大的区别，但数，无论被理解为数运还是理解为纯粹数学，对理论建构都具有基本的意义。数运在阴阳五行理论中的作用，与数学在近代物理理论中的作用颇多相类之处。今天人们所说的自然规律，差不多就是古人所说的数，而且它们最终将只能用数学加以表述。
一个数学化的物理世界将是一个没有时间性的世界，这一点也已经埋藏在数的观念里面。数的脱时间性人所周知，这一点也使人们把数学真理说成是永恒真理。上面说数既在空间中展现也在时间中展现。但对时间的深入考察将表明，按照实在/现象的两分框架，实在是没有时间性的。把现象理解为副现象，将导致把时间本身理解为幻象。伯特在讨论惠更斯提出的做功概念时指出了这一点：“原因和后果对科学来说就是运动，原因在数学上等价于后果。”[24]
从科学的发展来看，洗脱数的感性性质是极大的进步。然而，这一过程同时就剪断了数字和我们对其他事物的感受之间的联系，剪断了数和自然理解之间的联系，数不再具有概念内容，不再是编织在其他概念之中的一些自然概念，我们不再从数字的概念内容来把握它们，它们是一些完全依赖于互相之间的比例关系得到定义的符号，组成了一个完全独立的自治领。
科学的数学化
毕达哥拉斯第一个提出“数是万物的原理”。的确，从科学史角度来看，毕达哥拉斯学派占有突出地位，数是原因、原理，数决定功能，这套见识可以引导我们去把不同结构（不同原理）之间的联系加以形式化，从而可能产生通向“统一科学”的努力。不过，除了在声学领域，毕达哥拉斯学派在解释自然时对数的应用不是科学的，而是思辨的或神秘的。在那里，数是有概念内涵的，每个数都独立地具有意义，而在此后的漫长的思想历程之中，人们逐渐学会了从完全的外在性来把握数字，形成了科学的数学语言。
柏拉图深受毕达哥拉斯学派影响，禀有数学取向。然而，对柏拉图来说，数学是入门的功课，是哲学的准备。
亚里士多德在他的物理学里也提供了对运动进行数学分析的一些线索，但他总体上否认数学对理解自然现象的作用。适合于数学分析的是位移，但位移不过是诸种变化中最简单的一种，其他变化，例如植物的生长，则很难用数学来加以描述。亚里士多德的《物理学》讨论能量、运动和静止，讨论什么是时间，但除了涉及一些相当直观的比例，可说一个数学公式都没有。读《物理学》跟读他的别的哲学书是一样的。亚里士多德并不是忘了在物理学中使用数学知识，他明确主张物理学不能用数学来研究，其理由是，物理学是用来研究经验世界的，而数学却是脱离了经验的抽象。反对在物理学中运用数学，会让现代人觉得惊奇，习惯于近代物理学的读者会想，离开了数学的物理学都是“空口白说”。但我要提醒说，亚里士多德的《物理学》是部哲学著作，原本就更该译作《自然哲学》，它不是要建立一个描述物理世界的形式系统，而是要通过考察我们平常对自然现象的描述和看法，更系统更深入地理解自然，理解自然现象之所以如此的所以然，数学在这里的确没有用武之地。
阿基米德的杠杆原理、欧几里得的光学、托勒密的数理天文学等等是些真正的异数，今天回顾，他们的确是实证科学的先驱，然而，他们不是希腊episteme的代表。天文学、光学、声学、静力学在希腊化时期以及后来在中世纪逐渐形成了近代数学化科学的雏形，但它们当时完全不曾对哲学思辨的统治地位构成挑战。
数学和自然哲学的关系到近代发生了根本的转折，若说在柏拉图那里，数学曾经是研习哲学的准备，那么对伽利略来说，数学是用来取代哲学的，如果哲学还值得研习，那它倒是为用科学方法研究现实做些准备。
近代物理学从根本上是对自然的数学化认识。把注重数学和注重实验作为近代科学的两个并列的特点反而会使近代科学的本质变得模糊不清。科学史家经常提醒我们，古代科学家、中世纪的炼金术士对实验手段都不陌生。另一方面，近代科学发展初期的科学家多半是学者型的理论家，他们主要从事原理探索，从表面看，他们和传统的哲学家非常相似。伽利略本人就说过他很少做实验，他做实验的主要目的是为了反驳那些不相信数学的人。人们一开始引入近代实验方法，在很大程度上不是为了验证新科学的理论，而是为了反对经院哲学的成说，反对宗教—哲学理论。大多数实验是由工匠、技师做的，“他们没有找出更深的内容和规律性的东西，只是获得了一些普遍的、实用性的知识。而且，直到十七世纪中叶，所做的实验都不是判决性的”。[25]实验的地位受到广泛质疑，理论家们不仅不大信任实验方法，有时甚至认为实验方法是反科学的。夏平在Leviathan and the Air-Pump一书中介绍了霍布斯和波义耳的争论。霍布斯对波义耳的真空实验做了猛烈抨击。在霍布斯看来，只有合理的推理是重要的，波义耳依赖的不是合理的思考，而是精心构造的工具和皇家学会会员的见证，这样的工作不是哲学，其方法不仅是错误的，而且是危险的。可以说，在近代科学早期，新科学的原理探索和实验工作并不总是携手并进的，两者之间经常发生方法论上的争论。直到较后，学者和实验家才联合起来，甚至合二为一，共同反对经院哲学，共同建构新型的科学理论。
数学化不仅是近代科学诸特征中最突出的特征，数学化从本质上规定着近代科学。温伯格曾讨论米利都学派和原子论的自然哲学，对后者赞赏有加，接着却口风一转：不论米利都人“错了”，还是原子论者在某种意义上“对了”，都无关紧要，在希腊“科学”中，“没有一点儿东西像我们今天对一个成功的科学解释的理解：对现象必须有定量的认识”。温伯格接着说，他在给文科学生讲物理的时候，觉得最重要的是让学生学会计算阴极射线的偏转和油滴的下落，这倒不是说任何人都需要学会计算这些东西，“而是因为他们能在计算的过程中体会物理学原理的真实意义”。[26]
克莱因总结说：“近代科学成功的秘密就在于在科学活动中选择了一个新的目标。这个由伽利略提出的并为他的后继者们继续追求的新目标就是寻求对科学现象进行独立于任何物理解释的定量的描述。”[27]笛卡儿是一个最典型的实例。他把整个自然还原为长宽高三维以及位移运动，就是说，还原为可以进行定量研究的对象。近代科学标志着我们对自然采取了一种新的态度，这种态度就是外在的态度或曰数学的态度。海德格用他特有的句式说道：“近代科学的基本特征是数学性的东西，这倒不是在说，近代科学是用数学进行工作的；这倒是要在某种意义上表明，狭义的数学只有根据近代科学才得以发生作用。”[28]
讲到这里，我们可能会想到柏拉图的《蒂迈欧篇》，他在那里把基本元素设想为几种正多面体，即一些纯粹的几何形态。的确，和亚里士多德相比，柏拉图的数学倾向非常突出。在西方思想传统内部，人们一直看到两种对立的取向，一是毕达哥拉斯—柏拉图传统，他们重数、数学、形式，一是亚里士多德传统，重经验、生物学、有机生长。尽管如此，我们仍不难看到柏拉图和笛卡儿的巨大差别。首先，柏拉图的正多面体元素尽管体现了把自然数学化的趋向，但它是一种思辨，而不是拉卡托斯意义上的研究纲领。其次，在希腊（以及在中世纪），主宰数学王国的是几何，代数始终处于附庸的地位。几何形态，如三角形、圆、立方体等，是具有质的。这一点亚里士多德曾格外予以强调。而笛卡儿把质从几何学中消除了。笛卡儿创建了解析几何，使代数成为数学王国的君王。通过解析几何的技巧，很多原本被认定为不同性质的线和图形被归约为可以换算的代数公式，从而，“以前一向为几何学家所避免的许多曲线就有了和比较常见的曲线相同的地位了。”[29]在笛卡儿的几何学中，在对几何的这种新的理解中，几何学本身也不再依赖于形象，图形只是数学公式的外部表现而已。数学在欧几里得那里脱离了感应，在笛卡儿这里脱离了感性。
迪昂描述了物理学理论形成的四个相续阶段的操作特征。一，选择那些简单的可测量的物理性质，用数学符号加以表征。二，用少数原理把不同种类的量连接起来。三，按照数学分析的法则把不同原理结合在一起。四，由这些原理推论出来的后果将被翻译为一些可与实际测量相比较的判断，并与实验定律进行比较。我们看到，这四个特征都和量化有关。乃至迪昂总括说：“物理学理论不是说明。它是从少数原理推演出的数学命题的体系。”[30]在另一处迪昂说，十七世纪的新哲学家们要求自己的理论“毫无例外地只处理量，严格排除任何定性的概念”。[31]
自然哲学是所谓定性的，它致力于解释现象为什么会发生的原因。例如亚里士多德用大量篇幅尝试解答为什么抛向空中的物体会回落到地面上。中世纪思想家用自然厌恶真空来解释虹吸等现象。与之相对，近代科学要求的是定量研究，例如一个落体下落时间与下落速度、下落距离之间的函数关系。伽利略指出，关于原因—原理的玄思并不能够增加知识，这种玄思的进展不过是一种解释取代了另一种解释，哪怕我们用一种较合理的解释取代了一种较稚弱的解释，我们的知识并没有什么增进。伽利略是对的，自然哲学旨在改善我们的理解，而非主要在意知识的积累。[32]
定量研究得到的是公式。公式不是对现象的解释，而是采用一种新的语言重新对现象进行描述。这一点之所以常常被误解，是因为数学描述不同于我们通常所说的那些有声有色的描述，而是在描述现象背后的规律。自由落体定律描述了一个物体怎样下落，而没有解释这个物体为什么下落，它为什么开始下落以及是否将继续下落。万有引力似乎提供了一种原因方面的解释。但上一章及其他处已说明，与其说万有引力是一种物理原因，不如说是一个数学原理，就像牛顿本人所称，万有引力不是一种物理力，而是一种“数学的力”。
科学的数学化所说的还远远不止于数学的大规模使用，近代科学数学化的更深一层含义是科学家从整体上不再把数学仅只视作操作的方式，数学正是探求自然世界的最正当的途径，甚至是唯一的途径。科学革命见证了一个基本转变，人们过去对待数学分析主要抱持操作态度，现在则“以一种更富实在的态度取而代之”。现在，“数学分析揭示的是事物的必然如此，如果计算行得通，那一定是所拟议的力量是真的”。[33]牛顿把万有引力称作“数学的力”，在牛顿的那些段落里，不难看出他在为“数学的”和“物理的”两者之间的区分苦恼。然而，对物理世界的基本理解正在发生转变。并非在数学的理解之外我们仿佛还另有对物理世界的真实理解。牛顿恐怕从来没有真正怀疑过万有引力的“真实的物理的意义”。在《原理》的结尾部分，牛顿直截了当宣称，revera existat，万有引力实际存在。
正如牛顿的主要著作题名所昭示的，近代科学的原理是数学，而不再是形而上学。数学，而非形而上学，造就理论。我们不妨在比喻的意义上说，数学成为新时代的形而上学，不过，在这些本来已经够纠缠的局面里，还不如简单清楚地说：数学取代形而上学成为物理学的meta，成为物理学之原。
从伽利略和牛顿开始，越来越多的自然现象得以用数学语言来成功地加以描述。一两个世纪以后，物理学整体上数学化了，从伽利略起直到今天，“‘数学物理学’与‘理论物理学’这两个用语是可以替换使用的”。[34]克莱因表达了相同的看法：“任何近代物理理论实质上是一个数学方程体系，”对于这一点，“那些没有进入到〔数学〕这座现代德尔菲神秘之城的门外汉是不满意的，但是现在科学家已经学会接受了。的确，面对如此众多的自然界的神秘，科学家非常高兴把自己隐藏在数学符号之中”。[35]
今人回顾科学革命时代，不会不谈到数学在力学中的巨大成功，而同样明显的是，那时的人们曾普遍希望运用数学推理来通达一切知识领域。知识的整体观念在发生转变。斯宾诺莎要把整个人的研究都并入数学：“我将要考察人类的行为和欲望，如同我考察点、线、面和体积一样。”[36]物理学成为科学的典范。其他学科一一跟进。康德的这句话被引用了无数次，让我再增加一次：“我断定，在所有关于自然的特定理论中，我们能够发现多少数学，就能发现多少真正的科学。”[37]哈维把定量研究引入生理学，据科恩说，这也是哈维最初能获得支持的唯一理由。[38]达尔文理论仍是定性理论，但且不说生物学中有相当一部分逐渐变为应用物理学和化学的一个分支，从孟德尔开始的遗传学最初就是由数量分析引导的，到二十世纪，与遗传学相合并的“新达尔文综合”引进概率论，到了今天，已是一种高度数学化的理论。例如，关于群体中的基因频率在世代交替过程中保持不变的哈迪—温伯格原理就是通过纯粹数学方法得出的。乔治·威廉姆斯说：“在最终意义上，自然选择涉及的是一个控制论意义上的抽象概念即基因，以及一个统计学意义上的抽象概念即平均表现型适合度。”[39]若对音乐进行科学研究，音乐学就是数学的一个分支。把音乐分析为音高、音色、音量、节奏，就可以清楚地看到，“音乐实质上是用数字来表示的”。[40]
有多少数学，就有多少科学。数学构成了科学的硬核。物理学是“硬科学”的典范，用斯蒂芬·科里尼的话说，物理学一向被视作“硬科学”中的最硬者。[41]生理学和生物学仍然不像物理学那样硬。我们用同样的眼光看待社会科学，在社会科学里，经济学是最硬的科学，社会学之属努力把数学引入自身，但其“科学性”还远远不如经济学。[42]
自然由深藏在现象/事物背后的数的运行或数的规律指挥，这是一个古老的信念。不过，在那个古老的时代，数这个概念还夹杂着大量感应因素。利用纯数学来描述我们实际身处其中的现象/事物，这在古代很少有成功应用。那些描述远不能提供整体的自然图景，它们毋宁是用来加固这个信念的一些例证。而近代以数学为原理的思想，则要求全面地使用数字来描述每一自然现象。数学在近代科学中的应用不仅远为广泛，而且远为深刻。经过数百次连续演绎推理得出的一个定理，在应用中竟被证明是完全正确的，这似乎只能给出一个结论：自然界是按照一个合乎理性的计划设计的。数学成了理性的代名词。在新进的思想家看来，要坚持理性态度，就等于用数学来考虑问题。理性由合情合理转变为数学理性。
为什么是数学
我们勾画了近代科学数学化的轮廓。但我们最关心的是这个问题：为什么数学或数学化能够成就科学革命？能够让物理学家们深入外部宇宙的机制，获得哲学—科学无法企及的巨大成果？这是问题把我们引向一片人迹罕至的林野，本节尝试迈出几步粗拙的探索。
数学的优点常被人称道：数学概念的准确性、论证过程的严格性、数学真理的确定性和普遍性。
数学是精确的，因此近代科学中成熟的部分得名为“精确科学”。数字可以描述极小或极大的量，我们平常说长短、很长、很短，这些说法是不精确的，身高1.88米和1.90米都是个子很高，但1.88米和1.90这两个数字却说出了两者的细微不同。不过这种意义上的精确是乏味不足道的，在这个意义上，“数学是精确的”这话没说出什么特别的东西，无非是说数学语言是专门用来处理量的，所以它特别适合处理包括量上的细微区别在内的各种与量有关的事情。羡慕和仰慕有细微的区别，准确和精确这两个词有细微区别，但这些区别并不适合用数学来处理。有时我们会说，我爱你甚于你爱我，但我们不会说，你对我的爱是我对你的爱的78%。在这些事情上，我们不知道精确量化是什么意思。有各种各样的准确性，我说丁丁你到我这里来一下，丁丁不会问：到东经多少度北纬多少度。“到这里来一下”不准确吗？在这里够准确了。维特根斯坦举了个好玩的例子，他叫他的仆人把切面包的刀拿来，他的仆人拿来了一个刮胡刀，他说我要的是切面包的刀，仆人说，我给你的是一把更精确的刀。
自然语言原本是包含数字的，如果需要，我们也能够用自然语言来表示各种量上的差别。然而，如亚里士多德的十范畴所提示的，量只是我们平常所关心的种种范畴中的一个，我们平常更多关心的是质，自然语言在表示极细微的量上的差别相当笨拙就是可理解的了。
“数学是精确的”这一说法的远为重要的意义是说：数学是明确无歧义的，数学描述和数学推理具有唯一性。笛卡儿赞美数学的明确性，就是着眼于数学推理的唯一性。从人皆自利可以推出母亲在和女儿利益冲突时将保护她本人的利益，也可以推出她将保护女儿的利益，这是因为自利概念或自我概念包含着丰富的或曰芜杂的（视你的立场而定）内容。而从2+2只能推出4。所谓数学论证的严格性及其结论的确定性，也就由此而来。
与精确性和唯一性相关的是全等的概念。2+2=4，完完全全相等。自然概念中也有些“同义词语”，例如快乐和愉快，例如张三打了李四和李四被张三打了，但它们之间几乎总是有点儿细微差异的，而87+133=110+110则完全相等。
但这样来比较数学中的全等和自然表达式之间的近似是不妥当的。数学中能够出现全等，不是由于数字精确，而仍然是由于数学是描述量的语言。羡慕和仰慕有细微的区别，这种区别不是量上的区别。而量之间的可比与质之间的可比不是一回事。质在某种意义上也是可比的，这一红色比那一红色更红，这一曲子比那一曲子更悦耳，这人比那人更善良。但是，大的量是由小的量相加而成，较强的质却不是由较弱的质相加而成。在一个笑话里，张三说：今天真热，32度；李四应道：是啊，昨夜才16度，今天白天比昨天夜里整整热了一倍。如迪昂所指出，把很多暗红色的布头缝在一起并不会得到一块鲜红的布，很多平庸的数学家聚在一起不会成为拉格朗日。“质的每一强度都具有它自己的个性特征。”[43]
量上的可比性是为计算服务的。为了能够计算，我们就需要把质的强度转换为量的大小。例如，我们用温度计里水银柱的高低来标示冷热的变化。两个较热不能相加为更热，但水银柱标度的数是可以加减的。进一步，我们还要努力把不同的质转换为可以换算的量，例如把红黄这些颜色转换为波长。“为了使数学家把具体的实验境况引进他的公式，就必须以测量为中介把这些境况翻译为数。”[44]物理学从量上来看待自然，描述自然，因此，它要求把各种质还原为量，从而纳入可计算的范围。笛卡儿要求把一切性质都还原为长宽高，用意在此。
从伽利略以来，圆锥曲线运动就被视作两个直线运动的综合。我们不妨说，从数学的角度来看，存在着两个运动。不过，这里的“看”是看的衍生意义，严格说，数学并不看，而是分析和计算。较少误解的说法是，采用数学语言，圆锥曲线运动就可以被描述为两种运动之合成。伽利略为什么要多此一举呢？因为把圆锥曲线还原为两条直线我们就能去除曲线和直线之间的以及不同种类曲线之间的质的区别，使得不同的性质的轨迹可以互相比较和换算，可以充分用数学来处理。
因此，全等并不是从数学的精确性中产生出来的，而是数学语法的基本设置―数学语言本来就是用来进行计算的，或者说，是用来进行计算式推理的。数学中的等式是量之间换算的主要工具。自然概念则首先是质的，我们关心的是羡慕和仰慕在质上的区别，量上的区别是第二位的。所以，全等在自然语言中并无用武之地—自然语言的用途不在于计算。
数学的真正独特力量来自它的普遍性或普适性。巴伊说，“数学解释的优势在于它们具有普遍性。”[45]这代表了很多论者的看法。尽管人们经常称说数学的普遍有效性，但人们是在什么意义上谈论普遍的，并不很清楚。数学普遍性的深层含义是：在一切现象下面，都有物理结构，而这个物理结构只能用数学来表示。这种迂回的普遍性是还原论的一部分，这里无法深谈。通常，数学的普遍性被理解为数学可以直接应用于万事万物。这显然颇有疑问。一方面，哲学不也具有普遍性吗？古希腊的原子论、决定论、一分为二，都说是普遍规律或一般世界结构。另一方面，两个相濡以沫共同生活了多年的夫妇感情破裂，我们很难用数学来解释破裂的原因，也很难用数学计算出其间的谁是谁非。
要理解数学的“普遍性”，关键在于认识到并牢记：数学是一种语言，“大自然这部书是用数学文字写成的”这句箴言已经明白说出了这一点。数学不是和物理学并列的一门科学，数学家的工作不同于物理学家的工作，纯数学家研究数学，很像语言学家研究语言，用齐曼的话说：“纯数学并不是普通的科学……纯数学家是语法和句法的专家。”[46]数学不是一门“自然科学”，这虽众所周知，但在反思科学的性质之时却经常遗忘。
数学是一种语言，所谓数学的普遍性无非是说：数学是一种通用的语言，而不像英语、汉语、斯瓦西里语那样是一个语族所使用的语言。只有通用语言才能提供普适理论。
哲学曾希望找到世界的客观的本质结构。然而，即使找到了，我们的表述也会因为语言的限制而受到歪曲。也许是德国人最先发现了世界的因果机制，发现了人生的终极目的，这时，我们能用汉语来表述这些吗？显然，如果原因不恰恰等同于Ursache，幸福不恰恰等同于Glücklichkeit，那么，在用汉语表述这些终极真理时就会走样。当然，困难远不止于表述。哲学家们最初出发去寻找的是原因吗？还是去寻找Ursache？还是cause？还是aitia或别的什么？希腊人对这里的麻烦不敏感，他们只承认一种语言。中国古人对此也不敏感。这个麻烦后来却越来越困扰近代的欧洲思想家。发明或发现一种普遍语言成为近代思想家的持续不懈的努力，从培根和莱布尼茨到柴门霍夫，从弗雷格到乔姆斯基和S.平克。莱布尼茨希望构造一种普遍语言，以使我们的论证变得和计算一样。然而，何必另外构造一种，数学就是现成的普遍语言。在数学语言之外，我们无法找到这种语言；要让论证变得和计算一下，就不得不让语言变成数学语言。
为什么数学语言会成为普遍语言呢？简言之，数学的普遍性来自量的外在性。数学是描述量的语言，而量是互相外在的。亚里士多德说，量是具有相互外在的部分的东西。迪昂评论说这一说法过于简单，在我看，简单固然简单，这个说法却委实道出了量的本质。很多哲学家都见到量的根本规定是外在性，亚里士多德如是观，黑格尔也如是观。[47]
纯量的语言把一切关系转变为外在关系。数字没有概念内容，它们是纯形式符号，每个符号“意义”完全由它与其他同族符号的（外部）关系规定。数学成为普遍语言，这不是说，数学语言比到处泛滥的英语更加普遍，它也不是像世界语那样的建制，数学之成为普遍语言，因为它是另外一类语言，它由不具内涵的符号组成，这些由外在关系所连接的符号组成一个数学系统，“一个没有经验内容的庞大而精巧的概念结构”。[48]按照希尔伯特的说法，去除了概念内容之后，“我们最后得到的不是用普通语言传达的实质数学知识，而只是含有按照确定规则逐次生成的数学符号和逻辑符号的一组公式而已。……于是实质演绎就被一个由规则支配的形式程序替换了”。[49]迪昂从一个稍有不同的角度概括了这个转变过程，他说，科学家不去单独研究所涉的概念，而是把它们转化为维度概念，以便用数来表示它们。接下来，“他们不是把这些概念的性质本身联系起来，而是把测量所提供的数交付按照固定的代数法则进行的处理。他们用运算代替演绎”。[50]
由规则支配的形式程序替换了实质演绎，从而能进行漫长的推理而不失真。数学推理的长程有效性给笛卡儿以最深刻的印象：“几何学家通常总是运用一长串十分简易的推理完成最艰难的证明。这些推理使我想象到，人所能认识到的东西也能是像这样一个接着一个的，只要我们不把假的当成真的接受，并且一贯遵守由此推彼的必然次序，就绝不会有什么东西遥远到根本无法达到，隐藏到根本发现不了。”[51]用费曼使用过的一个比喻来说，数学推论就像晶体阵列，晶体一端的原子的位置决定了晶体另一端的原子的位置，即使相隔上百万个原子，这种决定关系仍然有效。
数学推理无疑和概念演绎有亲缘，但数学推理自有其特点。我们的自然语言是我们的经验培育起来的，它受到我们的感性和经验的约束。自然语言也含有逻辑，我们能依循其中的逻辑通达我们不能直接感知的事物，我们多多少少能够理智地谈论神明、物自体、月上天球的互相作用方式，然而这些谈论始终受到可感的特殊事物[52]的约束。上节说到，由于自利概念包含着多维的内容，含有自利概念的自然推论就不可能具有唯一性。我们甚至可以说，在自然推论中，想象力比逻辑能力所起的作用更大。受过近代科学方法训练的人，难免不抱怨使用自然语言进行推论太不确定、太含混，缺少必然性。而在数学推理中就没有这些不便。数字没有概念内容，它和其他数字的关系是外在的，就是说，一个数字完全是在它和其他数字的比例中被定义的，通过等式的不断转换，数学推理无论走多远，都保持着原本的完全等同。具有了这种外在性，数学推理就可以突破感性的藩篱，走得很远很远，通达我们的自然认识无法企及的事物，不断有效地扩大我们的知识领域。“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度”，然而，通过等式的不断转换，我们就可以度量巨大的宇宙和微小的粒子。通过把一颗彗星的椭圆轨道描述为由它固有的直线运动与受到太阳引力作用而做的直线运动所合成，我们就能够计算出这颗彗星的整个轨迹，包括它处在无法被观察到的遥远空间的轨迹。我们现在知道地球的大致重量，这不是我们用秤称出来的，而是通过数学分析和演算得出的。
数学理解力
这种摆脱了感性的外在推理有它的代价，那就是丧失直观。圆锥曲线运动被分解为两个直线运动的综合，这有助于计算。但我们看到的是一个单一的曲线运动，而不是两个直线运动。我们的自然理解始终依赖直观，数学语言则迫使我们进入一种新的理解，这里要求的是“数学理解力”，这是一种特殊的理解力。
一项原理被分解成了若干基本的逻辑步后，一位初学者也可以对照演算规则逐步检验整个证明是否正确。他无须对该原理有什么理解。学习数学和逻辑演算所需要的理解体现在另外一个层面上，在这里，有所理解大致是说，一个学生明白这个问题为什么可以分解为这些逻辑步，换言之，他明白这些分离的逻辑步为什么合在一起就证明了该结论。因此，他能收到举一反三之效，把另一个问题分解为和这些逻辑步对应的东西，从而一步步加以证明，或者能指出某一证明过程中出现了缺陷、错误。基于这种理解，他甚至还可能提出对某一证明过程加以简化或改进的方案。
笛卡儿赞叹几何学证明是那样简单易解，然而齐曼却另有高见：“数学推理的实质是它的每一小部分很容易理解，而合在一起则很难理解。”[53]一小步一小步的理解在技术性上构成一个总体的理解，但那不是直观意义上的整体理解。数理演算的理解与理解一个哲学命题、理解道德准则、理解一首诗是大不相同的理解，任何一个被要求去修一门理科的文科学生都会有强烈的体会，反过来，只习惯数理理解的学生可能觉得诗或哲理十分难解。
数学理解，我会说那是一种技术性的理解，一种通过专业训练培养起来的理解。你不理解前一个定理，就无法理解下一个定理。读亚里士多德的《物理学》也需要有所准备，需要一般的良好理解力，还需要认真耐心的阅读习惯、对希腊文化的一般了解，还得有点儿想象力，但你不需要什么技术性上的准备。你认真阅读了，你会有或深或浅的理解，无论深浅，这些都是直接的理解。“理解”这个词就包含着直接性。通常理解不是按照固定的代数法则演进，各种理解互相渗透。对亚里士多德来说，无论是研究物理还是研究动物还是研究城邦，都是要增加对世界整体的理解。技术性的理解却不是这样，我可以在某一领域达到极高的数学理解，但我却缺乏对其他事物的一般理解。
在技术性统治的时代，数理类型的理解被视作最高的理解，这不啻颠三倒四。在数量关系中，感性内容被清洗掉了，而我们平常所谓理解，始终是包含着感觉的理解，可以说，越富有感觉，就理解得越深厚。数学固然可以在一个抽象的意义上描述物质的结构，并且得出正确的预言，但是我们却不能通过数量来直接理解这个世界。前面说到，虽然希腊人的数学相当发达，但亚里士多德在物理学中却几乎不使用数学。这一点反映了亚里士多德所理解的哲学—科学是在何种意义上寻求世界的真理。古代哲学—科学之寻求真理，是在寻求一个可以被理解的世界。这个“理解”，是指蕴含丰富感性的理解，这是数学所不能达到的。前面说到，现在，各门学科，包括社会学科甚至人文历史学科，都在争先恐后引进数学模式，以便成为真正的科学。经济学比社会学、政治学更科学，因为它包含更多的数学硬核。在近代的意义上，经济学也许越来越科学，但从希腊的哲学—科学来看，经济学对人的经济活动和社会活动越来越无所理解。
自然理解才是本然的因此也是最深厚的理解。如卢瑟福所说，如果我们不能以一种简单的非技术的方式解释一个结果，我们就还没有真正弄懂它。据大卫·L.古德斯坦和格里·纽吉堡尔说，费曼曾打算给大学一年级学生开一次讲座，解释自旋等于1/2的粒子为什么服从费米—狄拉克统计，后来他放弃了这个打算，费曼说：“我没法把它简化到大学一年级的水平。这意味着实际上我们并不理解它。”[54]
法拉第曾写信问麦克斯韦，他是否能用普通语言来表达其数学工作的结论，以使非数学家能够理解他的工作并因此受益。克莱因在引述这封信后说道：“遗憾的是，法拉第的这个要求直到今天仍得不到满足。”[55]这是当然的，我们一开始采用数学语言，就是因为它不受自然理解的束缚，通达某些我们由于感性限制所不能了解的真实。数学语言的长处和短处是一个硬币的两面。数学语言之所以适合于长程的严格推理，恰因为它不受弥漫感受性的约束，恰因为它不是由感觉（意义）引领进行推理的。如果数学语言充满了意义，它将失去它的根本长处，即可借以进行长程的严格推理。
数学描述完美符合定义的抽象的存在，但这个存在却被剥夺了其他属性。这是反对把数学应用于社会科学的最基本的理由之一。齐曼问道：IQ相加的算术运算能有什么意义呢？87+133=110+110在智力范围内没有对应物。[56]塔西奇直白说：“图灵机这种抽象的计算机被专门设计来捕捉我能够计算的所有对象，但不是我能够做的所有事情。图灵肯定没有把他的模式运用到对人类婚庆仪式的详细研究之中。”[57]就像语言不能穷尽我们身处其中的世界的生动与丰富，数学语言触及不到很多日常事实。它就事物之可测量的维度加以述说。数学的普遍性绝不是数学的普遍适用性，例如，“对于探讨科学的实际变化的历史学家来说，数学是一个不良先例，一个无论如何都不能推广的例子。”[58]
回过头来看，声称数学具有普遍性是浮面之见。数学的确建立了某种普遍的联系，然而它破坏了另一种统一的联系。我们在数字中看到了炮弹、地球和行星运动的一致性，而不是在感觉、经验之中。世界不再是统一到人的象中，而是统一到数字中。[59]如柯瓦雷所言，感性的世界瓦解了，代之以“理智的统一性”，[60]库恩应和道：“最后，分崩离析的亚里士多德宇宙被一种全面而融贯的世界观所取代，人类自然概念的发展进入了新的篇章。”[61]
[1]T.丹齐克，《数―科学的语言》，苏仲湘译，上海教育出版社，2002。
[2]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，121页。
[3]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，243页。
[4]转引自网上Stanly L. Jaki, A Late Awaikening to G?del in Physics.
[5]转引自马祖毅，《中国翻译史》，上，湖北教育出版社，1999，474页。
[6]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，前言第6页。
[7]柏拉图，《国家篇》，525b、527b。这里采用的是王晓朝的译文，见《柏拉图全集》，王晓朝译，人民出版社，525页、527页。
[8]《左传·僖公十五年》。
[9]李零，《中国方术考》，第二版，东方出版社，2001，35页。
[10]董仲舒，《春秋繁露·同类相动》。
[11]薛定谔，《自然与古希腊》，颜锋译，上海科学技术出版社，2002，38—39页。
[12]文德尔班，《历史与自然科学》，载于洪谦主编，《西方现代资产阶级哲学论著选辑》，商务印书馆，1964，60页。
[13]莱昂·罗斑，《希腊思想和科学精神的起源》，陈修斋译，段德智修订，广西师范大学出版社，2003，61页。
[14]4或正方形代表正义这一观念通过square这样的语词保留到现在。
[15]“4”和正义不是单纯现象相似意义上的相似；“4”是两个平等的数的乘积，自乘和互相酬报在概念上亲缘。总的说来，在毕达哥拉斯学派那里，数与现象的对应更多是结构性上的对应。张祥龙在《数学与形而上学的起源》一文中多次强调了这一点：毕达哥拉斯借以论证万物与数相似的“最根本的理由是结构性的”，“在西方传统形而上学的主流唯理论的开端这里，〔也〕有一种结构推演的精神在发挥关键性作用”。张祥龙，《数学与形而上学的起源》，载于《云南大学学报》，2002年第二期。这一点判定了，从理论形态上说，毕达哥拉斯理论比五行理论要成熟得多。
[16]《庄子·渔父》。
[17]伊恩·斯图尔特，《自然之数》，潘涛译，上海科学技术出版社，1996，98页。
[18]林德伯格，《西方科学的起源》，王珺等译，中国对外翻译出版公司，2001，91页。
[19]史蒂芬·巴克尔，《数学哲学》，韩光焘译，肖阳校，三联书店，1989，114页。
[20]斯科特，《数学史》，侯德润、张兰译，广西师范大学出版社，2002，69页。
[21]斯科特，《数学史》，侯德润、张兰译，广西师范大学出版社，2002，84页。
[22]许倬云，《中国文化与世界文化》，贵州人民出版社，1991，82页。
[23]许倬云，《中国文化与世界文化》，贵州人民出版社，1991，85页。印度古代的数学我一无所知。而就我所知，中国古代数学如《九章算术》及刘徽注中都包含有抽象证明。但若以《几何原本》来衡量，仍可认为以上史家的断论大致成立。
[24]E.A.伯特，《近代物理科学的形而上学基础》，徐向东译，北京大学出版社，2003，77页。
[25]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，107页。
[26]S.温伯格，《终极理论之梦》，李泳译，湖南科学技术出版社，2003，5页。
[27]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，184页。
[28]海德格尔，《近代科学、形而上学和数学》，孙周兴译，载于《海德格尔选集》，下，上海三联书店，1996，856页。
[29]斯科特，《数学史》，侯德润、张兰译，广西师范大学出版社，2002，114页。
[30]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，22—23页。所讨论的段落参见英译本，Duhem & Pierre，The Aim and Structure of Physical Theory，Princeton University Press，1954，19—21页。
[31]同上书，127页。
[32]这一点下几章将继续阐论。
[33]约翰·亨利（John Henry），Scientific Revolution and the Origins of Modern Science，Palgrave Macmillan, 2001，15页。
[34]罗杰·牛顿，《何为科学真理》，武际可译，上海科技教育出版社，2001，128页。
[35]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，319页。
[36]斯宾诺莎，《笛卡儿哲学原理》，王荫庭, 洪汉鼎译，商务印书馆，1980，15页。
[37]康德，《自然科学的形而上学基础》，载于《康德著作全集》，李秋零主编，中国人民大学出版社，2005，第四卷，479页。（在这个全集本中，《自然科学的形而上学基础》译为《自然科学的形而上学初始根据》。）
[38]科恩，《科学中的革命》，鲁旭东、赵培杰、宋振山译，商务印书馆，1999，243页、245页。
[39]乔治·威廉姆斯，《适应与自然选择》，陈蓉霞译，上海科学技术出版社，2001，28页。
[40]托马斯·克伦普（Thomas Crump），《音乐的结构及其数字人类学根据》，郑元者译，载于《杭州师范学院学报》，2005，第六期，89页。
[41]见斯蒂芬·科里尼为再版《两种文化》所写的导言，C.P.斯诺，《两种文化》，陈克艰、秦小虎译，上海科学技术出版社，2003，41页。
[42]科学从“硬”到“软”大致是这样排列的：物理学、化学、生物学、经济学、心理学，然后或是政治学、社会学，或是社会学、政治学。所根据的标准有1.高度发展的理论、高度编程化。2.量化。3.对理论、方法、问题的意义、个人成果的意义等具有高度共识。4.理论可做出预测。5.知识老化速度快，表明知识在积累。6.新知识增长快。参见史蒂芬·科尔，《科学的制造》，林建成、王毅译，上海人们出版社，2001，139页和136页。
[43]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，127页。
[44]同上书，150页。
[45]转引自科恩，《科学中的革命》，鲁旭东、赵培杰、宋振山译，商务印书馆，1999，215页。
[46]约翰·齐曼，《可靠的知识》，赵振江译，商务印书馆，2003，20页。
[47]参见黑格尔《逻辑学》第一部第一编第二部分量论，特别参见黑格尔，《小逻辑》，贺麟译，商务印书馆，1980§99—101、105。
[48]卡尔·亨佩尔，《论数学真理的本性》，载于保罗·贝纳塞拉夫/希拉里·普特南编，《数学哲学》，朱水林等译，商务印书馆，2003，454页。
[49]希尔伯特，《论无限》，载于保罗·贝纳塞拉夫/希拉里·普特南编，《数学哲学》，朱水林等译，商务印书馆，2003，226—227页。
[50]迪昂，《物理学理论的目的和结构》，李醒民译，华夏出版社，1999，71页。
[51]笛卡儿，《谈谈方法》，王太庆译，商务印书馆，2005, 16页。
[52]大致相当于斯特劳森所说的particulars，多有译作殊相的，但译作殊相似乎不如译作特殊事物。
[53]约翰·齐曼，《可靠的知识》，赵振江译，商务印书馆，2003，22页。
[54]P.R.费曼，《费曼讲物理入门》，秦克诚译，湖南科学技术出版社，2004，前言，16页。我在一篇文章（胡作玄，《爱因斯坦与数学》，载于《中华读书报》，2005.11.30第十五版）中读到，爱因斯坦曾说：“自从数学家搞起相对论研究之后，我自己就不再懂它了。”
[55]M.克莱因，《西方文化中的数学》，张祖贵译，复旦大学出版社，2004，317页。
[56]约翰·齐曼，《可靠的知识》，赵振江译，商务印书馆，2003，17页、165页。
[57]V.塔西奇，《后现代思想的数学根源》，蔡仲、戴建平译，复旦大学出版社，2005，117页。
[58]福柯，《知识考古学》，谢强、马月译，三联书店，2003，211页。
[59]参见陈嘉映，《无法还原的象》，载于陈嘉映，《无法还原的象》，华夏出版社，2005。
[60]柯瓦雷，《牛顿研究》，张卜天译，商务印书馆，2016，19页。
[61]库恩，《哥白尼革命》，吴国盛等译，北京大学出版社，2003，253页。