妞妞小心地沿着纸带方向把莫比乌斯带剪成两半，果然像爸爸所说，神奇的事情发生了！它居然还是一条完整的带子，不过是长了一些、卷曲多一圈而已。妞妞惊讶得说不出话，好半天都没有明白到底发生了什么事。【欢迎加入罗友书社，微信：15535237487，罗辑思维，得到APP，樊登读书会，喜马拉雅系列海量书籍与您分享】
爸爸夏天的时候曾经到中越边境的一个瀑布参观，看到那里的苗银饰物实在便宜，花三十五元顺便买回来了一对银镯子。银镯子式样古朴简单，就是把细银条旋扭相连，在接口处刻上龙头和龙尾。看上去就像是一条龙张大嘴在咬自己的尾巴。
妞妞很喜欢这对镯子，常常拿在手里玩。这天她又把这对镯子戴在手上写作业，突然抬起头问爸爸，“一条龙咬吃自己的尾巴，不停地吃，最后会剩下点什么？”说完狡谲地看着爸爸，心里想，这样的难题可是不容易想出来呀！
“最后就剩一张嘴和一个胃，因为所有的龙身体都被这张嘴吃到胃里面了。”爸爸把正在看的书放到一边，哈哈大笑起来。“刚才是和妞妞开玩笑的，最后应该剩下一个环，就是一个轮胎的样子。”
“我觉得应该只剩下一个肉球球。”妞妞也开始眯起眼睛笑。
“应该是一个中间有眼的肉球球，这和一个环是一样的。”爸爸突然想起了拓扑学上的等价变换，今天的趣味数学就讲一些有趣的拓扑话题好了。“如果我们有一个橡皮球，你能不能把它捏成一个环？”
“可以，在中间打一个洞，然后用劲拉开就行了。”妞妞的回答依旧是很快。
“如果我们不许打眼，不许粘接，可以变形，就像真的橡胶一样，当然弹性可以非常大，有一门数学专门研究这样的几何，我们叫它拓扑学。”
“橡胶几何！”妞妞觉得很好玩。
“对，它的别名就叫橡胶模几何。比方说一只橡胶手套，如果橡胶手套的弹性非常大，我们从它的开口处使劲往外拉，结果能拉成什么呢？”
把手套变成圆盘
“拉、拉、拉……”妞妞嘴里念叨，“先是一个五指山。再拉，山头没了。哇，是一块橡胶膜！”妞妞的话里透出兴奋，这样的问题原来为什么没有想过呢？
“对，非常正确！手套和一张平膜在拓扑学上是等价的。”爸爸说，“我们还是来看一个神奇的纸带吧！”
说着，爸爸拿出剪刀，在一张复印纸上剪下了一条，把对边扭转180°，然后用胶水把它们粘好。
“这就是非常非常有名的莫比乌斯带。”爸爸的话语中有许多的骄傲。“不要小看这个带子，它的出现直接导致了扭曲空间的研究，而空间扭曲对于我们认识宇宙有极大的意义。它是由德国数学家莫比乌斯发现的。还是先让你看看它的神奇之处吧！”
爸爸把纸带交给妞妞，“你拿出彩笔，不要提笔，沿着纸带的中间画一条直线给爸爸看看！”
制作莫比乌斯带
妞妞开始小心地画，心里想不知道爸爸又在设计什么古怪的问题。画着画着，妞妞的笔慢了下来，继而惊叫一声，“咦！怎么把两边都画上了？”
“这就对了，莫比乌斯带只有一个面！既是正面也是反面，或者说既没有正面，也没有反面。有趣吧？如果你用一把漆刷沿着纸带一个方向刷漆，那么你将发现，当漆刷回到起点时，它已将整个纸带的表面都涂满漆了。这可是和我们的直觉完全不一样，对不对？输送带的一面会有较多的磨损，而在莫比乌斯输送带中，两面可以均匀分担磨损，传送带的寿命可以延长一倍。”
爸爸也不等妞妞回答，接着说：“你拿剪刀沿你刚才画的中线剪断，看看又会发生什么有趣的事。”
妞妞小心地沿着纸带方向把莫比乌斯带剪成两半，果然像爸爸所说，神奇的事情发生了！它居然还是一条完整的带子，不过是长了一些、卷曲多一圈而已。
妞妞惊讶得说不出话，好半天都没有明白到底发生了什么事。“咦，太奇怪了！明明是剪破了，怎么还是连在一起呢？”
爸爸在妞妞剪纸带的时候，又做了一个莫比乌斯带，交给妞妞，让她把纸带三等分一下。妞妞这次做的很快。爸爸说：“你再用剪刀沿两根画线剪开，你觉得应该是个什么结果呢？”
妞妞说：“应该还是一个圈圈吧！先剪一刀后，变成一个大圈，再剪一刀变成一个更大的圈。让我剪剪看。”
沿中线把莫比乌斯带剪成两半
剪刀在妞妞灵巧的小手里不停地张合。原以为会需要开两个口下剪子，不想不用剪子离开纸，直接转了两个圈，竟然把三等分的两条线都剪完了。剪开的结果居然是两个互相套住的纸圈。一个纸圈是大小和原来一样只是变窄了的莫比乌斯带，另一个纸圈像是把莫比乌斯带剪成两半之后的大纸圈。
“好奇怪哟！”妞妞放下手中的剪刀，望着爸爸，希望爸爸能够说点不一样的东西，让妞妞一下子明白是怎么回事。
“一个平面我们说它是二维空间，二维空间可以是平坦的，比如，我们原先说到过的桌面，或是一个无穷大的桌面；也可以是扭曲的，就像莫比乌斯带。莫比乌斯带只是扭曲了180°，剪断的莫比乌斯带，却卷曲了540°。它实际上可以卷曲更多的度数。如果二维世界可以卷曲，那么三维世界为什么就不会卷曲呢？”
“三维世界的卷曲，又是什么样子呢？”妞妞无法想象。
“我们生活在地球上，多少年都认为大地是平的，可它却是个大球面，要知道世界比我们的直觉要复杂有趣得多。一个卷曲的三维世界爸爸也没有办法给你很科学地描述，不过你可以把它简单地想象成扭着的麻花。在扭麻花般的三维空间中，我们可以想象一些有趣的事情。”爸爸喝了一口水。拿出了一个奇怪的瓶子，这是爸爸投资的一家3D打印机公司刚打印出来的。妞妞看了觉得非常奇怪。“这是什么东西？”
“二维世界里是有左右的，还记得吗？它只是没有高度。如果我们沿莫比乌斯带走，走一圈回到出发点的时候，你就会发现左右已经易位了，不信你可以试试。这就是说，沿着卷曲的二维世界旅行，你自己并没有旋转，空间的扭曲让二维世界里的生物左右调换了。
“这是著名的克莱因瓶，沿着它的经线走，你能走遍这个瓶的里面和外面，这就是说这个瓶只有一个面。而且如果把一个克莱因瓶沿着它的对称线剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。
“克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只能将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。”
“这是怎么回事呢？”显然妞妞有些糊涂。
爸爸接着解释：“我们用平面上的8字扭结线条来打比方。如果我们把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交。实际上，这个图形是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断不自交的一条封闭曲线。平面上的8字扭结只是它在平面上的投影。
“在平面上一条曲线自然做不到不相交而通过，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上，只好将就一点，把它画成相交的样子。”
原来如此。妞妞轻轻出了一口气。“克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样。
如果我们的宇宙在什么地方呈现出克莱因瓶式的扭曲，那么我们的宇航员沿着这个空间旅行回来的时候，会发现自己所有的左右都掉了个，就像镜子里面一样。左右手、左右眼换边，心脏在右胸腔里跳动，一切都在，可是却又全都不同！这会是多么的神奇事情呀！”
“爸爸，上下为什么不掉个呀？”妞妞惊讶之余也会给爸爸出难题，不过爸爸这次不太愿意自己来回答，而且好像一下子也没有什么好办法回答，“你照镜子的时候为什么镜子里的像不是头朝下，脚朝上呢？这个问题你作为思考题好不好？”