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０１１第三章 亚里士多德三段论系统
斥。
关于亚里士多德三段论理论的主要研究，由于这问题的解决而宣告终结。
还剩下的唯一的一个问题，或者甚至是一个等待解释的神秘之点就是：为了排斥这个系统的所有假的表达式，那么用公理方法排斥唯一一个假的表达式，亦即第二格的全称肯定前提与特称肯定结论的三段论形式，就是必要与充分的。
没有适合于这个目的的其它表达式。
这个奇怪的逻辑事实的解释也许可以导致逻辑领域内的若干新的发现。
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第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
２。符号系统的说明A这一章并不属于逻辑史。
它的目的是根据现代形式逻辑的要求，但与亚里士多德本人所陈述的观念密切联系，构造一个非模态三段论的系统。
现代形式逻辑是严格地形式化的。
为了得到一个精确的形式化理论，使用一套为此目的而发明的符号系统，比起使用有着自己的语法规律的普通语言要方便得多。
所以，我必须从这样一套符号系统的说明开始。
由于亚里士多德的三段论系统包括着命题逻辑的最基本部分（即演绎理论）
，我将同时说明这两个理论系统的符号表示法。
在这两个理论系统中，都有变项和常项出现。
变项由小写拉丁字母表示，常项由大写拉丁字母表示。
我用起首的字母ａ，ｂ，ｃ，ｄ，…，表示亚里士多德逻辑的词项变项（ｔｅｒｍｖａｒｉCａｂｌｅｓ）。
这些词项变项以普遍词项作为它的值，如“人”或“动物”。
我用大写字母Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ表示亚里士多德逻辑的常项（中世纪的逻辑学家已经在这个意义上使用这些符号）。
借助于这两类字母，我构成亚里士多德逻辑的四个函项，书写时把常项置于变项之前：
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２１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
Ａａｂ表示 所有ａ是ｂ或ｂ属于所有ａ，Ｅａｂ表示 没有ａ是ｂ或ｂ属于无一ａ，Ｉａｂ表示 有些ａ是ｂ或ｂ属于有些ａ，Ｏａｂ表示 有些ａ不是ｂ或ｂ不属于有些ａ。
常项Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ都叫函子，ａ和ｂ叫做它们的变元（ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）。
所有亚里士多德的三段论都是由彼此相联系的这四种函项借助于“如果”和“并且”等词而组成。
“如果”
、“并且”
等词也表示函子，但它是与亚里士多德逻辑常项不同的另一类：它们的变元不是词项表达词（ｔｅｒｍ－ｅｘｐｒｅｓｉｏｎ）
，即具体词项或词项变项，而是命题表达式（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
ｅｘCｐｒｅｓｉｏｎ）
，即是像“所有人都是动物”那样的命题，像“Ａａｂ”那样的命题函项或命题变项。
我用ｐ，ｑ，ｒ，ｓ，…，表示命题变项，用Ｃ表示函子“如果”
，用Ｋ表示函子“并且”。
表达式Ｃｐｑ即是“如果ｐ，则ｑ”的意思（“则”可以省去）
，并且叫做以ｐ为前件，ｑ为后件的“蕴涵式”。
Ｃ并不属于前件，它仅仅把前后件联系起来。
表达式Ｋｐｑ即是“ｐ并且ｑ”
的意思，并称为“合取式”。
在有些证明中我们还会遇到命题逻辑的第三个函子，即命题的否定。
它是一个变元的函子，用Ｎ表示。
要把函项Ｎｐ翻译为英语或任何其它现代语言都是困难的，因为没有与命题否定相当的单个的字眼①。
我们只得用一种绕弯子的方式说“ｐ不是真的”
（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｒｕｅ－ｔｈａｔ
ｐ）或“不是ｐ那种情况”
（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｈｅ－ｃａｓｅ－ｔｈａｔ
ｐ）。
为了简便起见，我采用表达式“非ｐ”
（ｎｏｔ－ｐ）。
①D斯多亚派用一个词‘ι（即“非”
，“不”。
——译者注）
表示命题的否定。
J F L
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２。符号系统的说明A ３１
我的表示法的原则是将函子写在变元之前，用这种办法，我能够不用括弧。
我发明的、并从１９２９年起在我的逻辑论文中使用的这一套不用括弧的符号①，可用于数学，同样也可用于逻辑。
加法的结合律在原来的表示法中是这样写的：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
，而且不能不用括弧来陈述。
然而如果你把函子＋写在它的变元之前，你得到：
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝＋＋ａｂｃ以及ａ＋（ｂ＋ｃ）＝＋ａ＋ｂｃ。
结合律现在就可以不用括号而写出了：＋＋ａｂｃ＝＋ａ＋ｂｃ。
现在，我要解释一下有些用这种符号表示法写出的表达式。
一个三段论的符号表达式是易于了解的。
以Ｂａｒｂａｒａ式为例：如果所有ｂ是ｃ并且所有ａ是ｂ，则所有ａ是ｃ。
用符号写成：ＣＫＡｂｃ
Ａａｂ
Ａａｃ前提Ａｂｃ和Ａａｂ的合取式，即ＫＡｂｃ
Ａａｂ，是公式的前件，结论Ａａｃ是它的后件。
有些演绎理论的表达式是很复杂的。
如假言三段论如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）则（如果ｐ，则ｒ）
］的符号表达式写成：
①例如，见卢卡西维茨与塔斯基：“关于命题演算的研究”
，《华沙科学与文学学会会刊》，ｘｉ卷（１９３０年）
，第Ⅲ类，第３１—３２页。
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４１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
Ｃｐｑ
Ｃｑｒ
Ｃｐｒ。
为了了解这个公式的结构，你们必须记住：Ｃ是直接在Ｃ之后的两个命题变元的函子。
这两个命题变元与Ｃ一起构成一个新的复杂命题表达式。
公式中的表达式Ｃｐｑ，Ｃｑｒ与Ｃｐｒ即属于这一类。
在它们每一个的周围画上括弧，就得到表达式：Ｃ（Ｃｐｑ）Ｃ（Ｃｑｒ）
（Ｃｐｒ）。
现在你们能够容易地看到Ｃ（Ｃｐｑ）是整个公式的前件，而其余的，即Ｃ（Ｃｑｒ）（Ｃｐｒ）是后件。
这个后件本身又是以（Ｃｑｒ）为前件和Ｃ（ｐｒ）为后件的。
以同样的方式我们可以分析所有其它表达式，如除了Ｃ之外还包含Ｎ和Ｋ的下面的例子：ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐ。
记住Ｋ与Ｃ一样也是两个变元的函子，而Ｎ是一个变元的函子。
使用不同种类的括弧我们得到表达式：Ｃ［Ｃ（Ｋｐｑ）
ｒ］｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］（Ｎｐ）
｝。
［Ｃ（Ｋｐｑ）
ｒ］在这里是整个公式的前件，而｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）
ｑ］（Ｎｐ）
｝是后件，这个后件又有合取式［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］为自己的前件以及否定式（Ｎｐ）为自己的后件。
２３。演绎理论A所有其它逻辑系统都建立于其上的那个最基本的逻辑系统乃是演绎理论。
因此每一个逻辑学家都应当知道这个系统，我在这里将对它作一简单描述。
根据什么函子被选择作为原始词项，演绎理论可以用几种不同方式加以公理化。
最简单的一种是按照弗莱格的方式。
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２３。演绎理论A ５１
他采用蕴涵与否定这两个函子作为原始词项，这在我们的符号系统中就是Ｃ和Ｎ。
这个Ｃ－Ｎ系统有很多组公理；其中最简单和几乎普遍赞许的一组，是我自己在１９２９年以前所发明的①。
它包含三条公理：Ｔ１。