ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ２。
ＣＮｐＴ３。
ＣｐＣＮｐｑ。
第一条公理是已经在前面一节中解释过的假言三段论定律。
第二条公理，在文字上读作：“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ“
，欧几里德曾用于一条数学定理的证明②。
我把它叫做克拉维乌斯定律，因为克拉维乌斯（一位博学的耶稣会士，生活于十六世纪后半期，西方新历——格列高里历法的创造人之一）
在注释欧几里德时首先注意到这个定律。
第三条公理在文字上就是“如果ｐ，那么如果非ｐ，则ｑ”
，就我所知，它第一次出现在据说是邓斯司各脱的关于亚里士多德的注释中；我W称之为邓斯司各脱定律③。
这条定律遏制着通常加之于矛盾W的诽谤：如果两个矛盾的语句，如α与Ｎα，同真，我们能够用这个定律从它们引出任意的命题ｑ，亦即无论任何命题。
属于这个系统的有两条推论规则：代入规则和分离规则。
代入规则允许我们从这系统里已断定的命题中，用一个
①第一次发表于用波兰文写的“论数理逻辑的重要性与必要性”
《波兰科学》（Ｎａｕｋａ
ｐｏｌｓｋａ）卷Ⅹ，华沙（１９２９年）第６１０—６１２页。
又参见本书第９８页注②所引用德文写的论文：命题６，第３５页。
②见前，第６７页。
③参看第６４页注所引用的我的论文。
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６１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
同样的有意义的表达式替换其中每一个相同的变项，从而导出一个新的断定命题。
有意义的表达式用以下方式归纳地定义为：（ａ）任何命题变项是一个有意义的表达式；（ｂ）如果α是一个有意义的表达式的话，Ｎα也是一个有意义的表达式；（ｃ）
如果α和β都是有意义的表达式，则Ｃαβ也是有意义的表达式。
分离规则就是前面谈到过的斯多亚派的“肯定前件的假言推理”
：如果Ｃαβ这种类型的命题被断定为真，并且它的前件α也被断定为真，那么就可以允许断定它的后件β，而把它从蕴涵式中分离出来作为一个新的断定命题。
用这两条规则我们能从我们这组公理推导出所有ＣＮ系统的真断定命题。
在这个系统中，如果我们要有除Ｃ和Ｎ之外的其它的函子，如像Ｋ，我们必须用定义来引进它们。
这可以用两种不同方式来作到，如我将在Ｋ的例子中表明的那样。
合取式“ｐ并且ｑ”的意思犹如“（如果ｐ，则非ｑ）这不是真的”一样。
Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系可以表达于这个公式中：Ｋｐｑ＝ＮＣｐＮｑ，其中记号＝相当于文字“意思犹如……一样”。
这种定义需要一个特殊的推论规则，它允许我们用被定义项替换定义项，并且反之亦然。
或者我们可以用等值来表示Ｋｐｑ与ＮＣｐＮｑ之间的这个联系，但因为等值不是我们系统的原始词项，所以用两个彼此可以替换的蕴涵式来表示这个联系：
ＣＫｐｑＮＣｐＮｑ与ＣＮＣｐＮｑＫｐｑ。
在这个情况下就不需要特殊的定义规则。
我将使用第一种定
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２３。演绎理论A ７１
义。
现在让我们用一个例子来表明借助于推论规则如何能从公理引出新的断定命题。
我将从公理Ｔ１－Ｔ３推导出同一律Ｃｐ。
这一推导要求两次使用代入规则以及两次使用分离规则；它是这样进行的：
Ｔ１。
ｑＣＮｐｑ×ＣＴ３－Ｔ４]
Ｔ４。
ＣＮｐｑｒＣｐｒ
Ｔ４。
ｑｐ，ｒｐ×ＣＴ２－Ｔ５] ]
Ｔ５Ｃｐ。
第一行叫做“导出行”
（ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎａｌ
ｌｉｎｅ）。
它包含以×号相互隔开的两个部分。
第一部分，Ｔ１。
ｑＣＮｐｑ，意思是在Ｔ１中]ＣＮｐｑ应当代替ｑ。
由此代替所产生的断定命题为了节省篇幅而省略了。
它将是以下形式：（１）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮｐｑｒＣｐｒ第二部分，ＣＴ３－Ｔ４，表明了这个省略了的断定命题是怎样构造的，使得分离规则可以应用于它这一点成为显然。
断定命题（１）以Ｃ开始，接着是公理Ｔ３作为它的前件，和断定命题Ｔ４
作为后件。
所以，我们可以把Ｔ４，分离出来作为一个新的断定命题。
在Ｔ５之前的导出行作同样的理解。
斜线（）
是替换的记]号，短线（—）是分离的记号。
几乎所有以后的推导都是以相同的方式进行的。
当一个人想要从公理Ｔ１－Ｔ３推导出交换律ＣＣｐＣｑｒＣCｑＣｐｒ，或者甚至推出简化律ＣｐＣｑｐ，那么，他在进行这样的证明时，必须非常熟练。
因此，我将说明一个容易的方法来验证我们系统中的表达式而不用从公理来推导它们。
这个方法
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８１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
是美国逻辑学家查尔士Ｓ皮尔士在１８５年左右发明的。
它W基于所谓二值原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｏｆ
ｂｉｖａｌｅｎｃｅ）
，这就是把每一个命题看作或是真的或是假的，也就是说每一个命题具有两个可能的真值中的一个也仅仅一个：真或假。
这个原则一定不要与排中律相混淆，根据排中律，两个矛盾命题中的一个必定是真的。
二值原则曾被斯多亚派，特别是克里西普斯当作逻辑的基础来陈述①。
所有演绎理论的函项都是真值函项，亦即，它们的真假仅仅依靠它们的变元的真假。
让我们用０表示常假命题，用１表示常真命题。
我们可以用以下方式定义否定：
Ｎ０＝１与Ｎ１＝０这个意思是说：假命题的否定与真命题的意思是一样的（或简言之，是真的）
，而真命题的否定是假的。
对于蕴涵式我们有以下四条定义：
Ｃ０＝１，Ｃ０１＝１，Ｃ１０＝０，Ｃ１＝１。
这个意思是：一个蕴涵式仅当其前件真而后件假时，它才是假的；在所有其它情况下都是真的。
这是蕴涵式的最古老的定义，曾经由麦加拉的菲罗陈述并为斯多亚派采用②。
对于合取
①西塞罗，《学院研究前篇》ｉ。
９５，“辩论术的基础乃是所有的陈述（他们称之为α‘ιDωμα）或者是真的，或者是假的”
；《论命运》２１“这样，克里西普斯集\中全力于这个论证，即所有α‘ιDωμα或者是真的或者是假的”。
在斯多亚派的术语\中，α‘ιDωμα的意思是“命题”而不是“公理”。
\②塞克斯都恩披里可，《反数学家》ｖｉ。
１３，“菲罗说蕴涵式成为真的，当W其并非前件真而后件假时，所以蕴涵式本身在三种情况下是真的，而在一种情况下是假的。”
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２４。量 词A ９１
式我们有四个明显的等式：
Ｋ０＝０，Ｋ０１＝０，Ｋ１０＝０，Ｋ１＝１。
一个合取式只有当它的变元都真时才是真的；在所有其它情况下它都是假的。
现在，如果我们要验证演绎理论的一个有意义的表达式，它包含函子Ｃ，Ｎ和Ｋ的全部或者其中的某些，我们就要用符号０与１的所有可能的排列去代替在这个表达式中出现的各个变项，并将这样得到的公式根据上面给出的等式加以推演。
如果在推演之后所有的公式最后都得出１，那么这个表达式就是真的或者是一个断定命题；如果其中之任一公式最后得出０，这个表达式就是假的。