让我们以易位律ＣＣｐｑＣＮｑＮｐ作为第一类的例子；我们得到：对于ｐ０，ｑ０：Ｃ０ＣＮ０Ｎ０＝Ｃ１Ｃ１＝Ｃ１＝１，]对于ｐ０，ｑ１：Ｃ０１ＣＮ１Ｎ０＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，]对于ｐ１
ｑ０：Ｃ１０ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１，]对于ｐ１
ｑ１：Ｃ１ＣＮ１Ｎ１＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１。
] ]因为对于所有的替换而言最后得出的都是１，所以易位律是我们系统的断定命题。
让我们举出表达式ＣＫｐＮｑｑ作为第二类的例子。
只要试一试一个替换就够了：
ｐ１，ｑ０：ＣＫ１Ｎ０＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。
]这个替换最后得出了０，所以表达式ＣＫｐＮｑｑ是假的。
在亚里士多德三段论系统中作为辅助前提使用的所有演绎理论的断定命题，我们都可以用同样的方法加以检查。
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０２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
２４。量词A亚里士多德没有量词的明确观念并且没有在他的著作中使用它们；因而我们不能把它们引入他的三段论系统。
但如我们所已经看到的，在他的系统中有两点，如果我们应用量词来解释的话，我们就能较好地理解它们。
全称量词与所谓“三段论的必然性”相联系，存在量词或特称量词与显示法证明相联系。
现在，我将把在第１９节述说的、用存在量词来作的证明以及在第５节提到的依赖全称量词的论证翻译为符号。
我用大写的希腊字母表示量词，用Ⅱ表示全称量词，而用后表示特称或存在量词。
Ⅱ可以读作“对于所有而言”
，^而可以读作“对于有些而言”或“有”
；例如ｃＫＡｃｂＡｃａ^的意思用语言说出来就是：“有一个ｃ使得所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”
，或者更简短地说：“对于有些ｃ而言，所有ｃ是ｂ并且所有ｃ是ａ”。
每一个带量词的表达式，例如ｃＫＡｃｂＡｃａ，^包含三个部分：第一部分，在我们的例子中就是，总是一个^量词；第二部分，在这里就是ｃ，总是一个用前面的量词约束着的变项；第三部分，在这里就是ＫＡｃｂＡｃａ，总是一个命题表达式，它包含着恰好被量词当作自由变项约束起来了的变项。
由于把ｃ放在ＫＡｃｂＡｃａ之前，最后这个公式中的自由^变项ｃ就变成被约束的了。
我们可以简单地说：（第一部^分）约束ｃ（第二部分）于ＫＡｃｂＡｃａ（第三部分）之中。
存在量词的规则已经在第１９节中陈述过了。
在各导出行中，我用１表示允许我们把置于一个真蕴涵式的前件之前^ X的规则，并且２表示允许我们把置于一个真蕴涵式的后件^ X
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２４。量 词A １２１
之前的规则。
以下的推导将是易于了解的。
因为它们都是第１９节中用文字作出的推导的翻译，相应的断定命题带有相同的番号（ｒｕｎｉｎｇ
ｎｕｍｂｅｒ）
，并且用相应的小写字母作为变项以代替大写字母。
Ｉ前提换位的证明：设定为真而不用证明的断定命题：（１）ＣＩａｂｃＫＡｃｂＡｃａ^（２）ＣｃＫＡｃｂＡｃａＩａｂ。
^断定命题（１）和（２）能用作Ⅰ前提的定义。
（３）ＣＫｐｑＫｑｐ（合取的交换律）
（３）ｐＡｃｂ，ｑＡｃａ×（４）
]（４）ＣＫＡｃｂＡｃａＫＡｃａＡｃｂ（４）２ｃ×（５）
^（５）ＣＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^（５）１ｃ×（６）
^（６）ＣｃＫＡｃｂＡｃａｃＫＡｃａＡｃｂ^Ｔ１。
ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ（假言三段论定律）
Ｔ１。
ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃｂＡｃａ，ｒｃＫＡｃａＡｃｂ×Ｃ] ^ ^（１）—Ｃ（６）—（７）
：（７）ＣＩａｂｃＫＡｃａＡｃｂ^（２）ｂａ，ａｂ×（８）
]（８）ＣｃＫＡｃａＡｃｂＩｂａ^Ｔ１。
ｐＩａｂ，ｑｃＫＡｃａＡｃｂ，ｒＩｂａ×Ｃ（７）—Ｃ] ^（８）—（９）
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２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
（９）ＣＩａｂＩｂａ这些推导行表明，（４）与（８）仅用替换而从其它断定命题得到，而（７）与（９）乃用替换与两次分离而得到。
读者可按这种方式自己试作Ｄａｒａｐｔｉ式的证明，它是容易的。
Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明（第１９节所用的变项Ｐ、Ｒ和Ｓ必须改换字母，因为相应的小写字母ｐ，ｒ和ｓ是用以表示命题变项的，把ｐ改写为ｄ，Ｒ改为ａ，Ｓ改为ｂ）
不加证明而设定的断定命题：（１５）ＣＯｂｄｃＫＡｃｂＥｃｄ^两个三段论取作前提：（１６）ＣＫＡｃｂＡｂａＡｃａ（Ｂａｒｂａｒａ）
（１７）ＣＫＡｃａＥｃｄＯａｄ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）
Ｔ６。
ＣＫｐｑｒＣＫｒｓｔＣＫｐｑｓｔ这就是人们认为由亚里士多德发现的“综合定理”。
Ｔ６。
ｐＡｃｂ，ｑＡｂａ，ｒＡｃａ，ｓＥｃｄ，ｔＯａｄ×Ｃ]（１６）—Ｃ（１７）—（１８）
（１８）ＣＫＡｃｂＡｂａＥｃｄＯａｄＴ７。
ＣＫｐｑｒｓＣＫｐｒＣｑｓ（辅助断定命题）
Ｔ７。
ｐＡｃｄ，ｑＡｂａ，ｒＥｃｄ，ｓＯａｄ×Ｃ（１８）—]（１９）
（１９）ＣＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ（１９）１ｃ×（２０）
^（２０）ＣｃＫＡｃｂＥｃｄＣＡｂａＯａｄ^
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２４。量 词A ３２１
Ｔ１。
ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ１。
ｐＯｂｄ，ｑｃＫＡｃｂＥｃｄ，ｒＣＡｂａＯａｄ×Ｃ] ^（１５）—Ｃ（２０）—（２１）
（２１）ＣＯｂｄＣＡｂａＯａｄ这就是Ｂｏｃａｒｄｏ式的蕴涵形式。
如果我们希望有这个式的通常的合取形式，我们必须应用所谓输入律（ｌａｗ
ｏｆ
ｉｍｐｏｒCｔａｔｉｏｎ）
：Ｔ８。
ＣｐＣｑｒＣＫｐｑｒ于（２１）
，我们得到：
Ｔ８。
ｐＯｂｄ，ｑＡｂａ，ｒＯａｄ×Ｃ（２１）—（２）
]（２）ＣＫＯｂｄＡｂａＯａｄ（Ｂｏｃａｒｄｏ）。
用所谓输出律（ｌａｗ
ｏｆ
ｅｘｐｏｒｔａｔｉｏｎ）
Ｔ９。
ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ。
（它是输入律的转换）
，我们可以从Ｂｏｃａｒｄｏ式的合取形式倒退回去得到它的蕴涵形式。
全称量词的规则与第１９节陈述的特称量词的规则是相似的。
全称量词能够无条件地放在真蕴涵式的前件的前面，以约束出现于前件中的自由变项。
只有满足这样的条件，即在后件中被约束的变项不在前件中作为自由变项出现时，才可以在真蕴涵式的后件之前加上全称量词。
我用１，表示这个规则_的头一条，用２表示第二条。
_从以上全称量词的原始规则，得到两条导出规则：第一，（从规则２及简化定律）
一个真表达式，在约束出现于其中的_自由变项时，允许把全称量词置于它的前面；第二，（从规则１及命题的同一律）
，允许消掉位于真表达式之前的全称X
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４２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
量词。
这些规则怎样可以导出，我将用Ⅰ前提的换位律为例来加以说明。
从换位律：（９）ＣＩａｂＩｂａ就得到量化了的表达式（２６）ａｂＣＩａｂＩｂａ`而从量化了的表达式（２６）又得到非量化的换位律（９）。