但公理3,即“如果b+1c并且a+1b,则a+1C”
a就不能确证。
取3替a,2替b,以及4替c,则前提将会是真的,而结论是假的。
从以上的独立性证明得出:没有三段论的单个的公理或“原则”。
1—4这四条公理可以机械地用“并且”
这个字联结成为一个命题,但是它们在这个没有有机联系的合取式中,仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。
26。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理1—4我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。
我希望在作了前面几节的解释之后,以后的证明就会是完全可以理解的。
在所有三段论的式中,大项用c表示,中项用b表示,小项用a表示。
大前提首先陈述,以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。
A。换位定律Ⅶ。
pAbc,qIba,rIac×C4—5] ] ]5。
CAbcCIbaIac5。
ba,ca,ab×C1—6]①在1929年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》(Elements
of
mathe-maticalogic)
(见第62页,注①)中,我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理1—4形式地推出(第180—190页)。
在上述教科书中说明的方法,由I。
M。
波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”
中稍作修改后加以采纳。
见《多明尼卡研究》(Dominican
studies)卷i,牛津1948年版。
-- 142
031第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
6。
CIabIba(I前提的换位律)
Ⅲ。
pAbc,qIba,rIac×C57] C7。
CIbaCAbcIac7。
ba,cb×C2—8]8。
CAabIab(肯定前提的从属律)
Ⅱ。
qIab,rIba×C6—9] ]9。
CpIabCpIba9。
pAab×C8—10]10。
CAabIba(A前提的换位律)
6。
ab,ba×1]1。
CIbaIabⅥ。
pIba,qIab×C1—12] ]12。
CNIabNIba12。
RE×1313。
CEabEba(E前提的换位律)
Ⅵ。
pAab,qIab×C8—14] ]14。
CNIabNAab14。
RE,RO×1515。
CEabOab(否定前提的从属律)
B。肯定式Ⅹ。
pAbc,qIba,rIac×C4—16]16。
CsIbaCKAbcsIac16。
sIab×C6—17]17。
CKAbcIabIac(Dari)
16。
sAab×C10—18]
-- 143
26。三段论的断定命题的推导A 131
18。
CKAbcAabIac(Barbari)
8。
ab,ba×19]19。
CAbaIba16。
sAba×C19—20]20。
CKAbcAbaIac(Darapti)
Ⅺ。
rIba,sIab×C1—21] ]21。
CKpqIbaCKqpIab4。
ca,ac×2]2。
CKAbaIbcIca21。
pAba,qIbc,bc×C2—23]23。
CKIbcAbaIac(Disamis)
17。
ca,ac×24] ]24。
CKAbaIcbIca21。
pAba,qIcb,bc×C24—25]25。
CKIcbAbaIac(Dimaris)
18。
ca,ac×26] ]26。
CKAbaAcbIca21。
pAba,qAcb,bc×C26—27] ] ]27。
CKAcbAbaIac(Bramantip)
C。否定式
XI。
pIbc,qAba,rIac×C23—28]28。
CKNIacAbaNIbc28。
RE×2929。
CKEacAbaEbc29。
ab,ba×30]
-- 144
231第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
30。
CKEbcAabEac(Celarent)
Ⅸ。
sEab,pEba×C13—31]31。
CKEbaqrCKEabqr31。
ac,qAab,rEac×C30—32]32。
CKEcbAabEac(Cesare)
Ⅺ。
rEab,sEba×C13—33] ]3。
CKpqEabCKqpEba32。
ca,ac×34]34。
CKEabAcbEca3。
pEab,qAcb,ac,ba×C34—35]35。
CKAcbEabEac(Camestres)
30。
ca,ac×36] ]36。
CKEbaAcbEca3。
pEba,qAcb,ac,ba×C36—37]37。
CKAcbEbaEac(Camenes)
Ⅱ。
qEab,rOab×C15—38] ]38。
CpEabCpOab38。
pKEbcAab,bc×C30—39] ]39。
CKEbcAabOac(Celaront)
38。
pKEcbAab,bc×C32—40]40。
CKEcbAabOac(Cesaro)
38。
pKAcbEab,bc×C35—41] ]41。
CKAcbEabOac(Camestrop)
38。
pKAcbEba,bc×C37—42]42。
CKAcbEbaOac(Camenop)
-- 145
26。三段论的断定命题的推导A 331
XI。
pAbc,qIba,rIac×C5—43]43。
CKNIacIbaNAbc43。
RE,RO×4。
CKEacIbaObc4。
ab,ba×45] ]45。