ＣＫＥｂｃＩａｂＯａｃ（Ｆｅｒｉｏ）
３１。
ａｃ，ｑＩａｂ，ｒＯａｃ×Ｃ４５—４６]４６。
ＣＫＥｃｂＩａｂＯａｃ（Ｆｅｓｔｉｎｏ）
Ⅹ。
ｐＥｂｃ，ｑＩａｂ，ｒＯａｃ×Ｃ４５—４７]４７。
ＣｓＩａｂＣＫＥｂｃｓＯａｃ４７。
ｓＩｂａ×Ｃ１—４８]４８。
ＣＫＥｂｃＩｂａＯａｃ（Ｆｅｒｉｓｏｎ）
３１。
ａｃ，ｑＩｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ４８—４９]４９。
ＣＫＥｃｂＩｂａＯａｃ（Ｆｒｅｓｉｓｏｎ）
１０。
ａｂ，ｂａ×５０]５０。
ＣＡｂａＩａｂ４７。
ｓＡｂａ×Ｃ５０—５１]５１。
ＣＫＥｂｃＡｂａＯａｃ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）
３１。
ａｃ，ｑＡｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ５１—５２] ] ]５２。
ＣＫＥｃｂＡｂａＯａｃ（Ｆｅｓａｐｏ）
作为所有这些推导的一个结果，一个显著的事实值得我们注意：有二十个三段论的式勿需使用公理３，即Ｂａｒｂａｒａ式，就可能推导出来。
甚至Ｂａｒｂａｒｉ也可以不用Ｂａｒｂａｒａ式而得到证明。
公理３是三段论系统的最重要的断定命题，因为它是唯一能产生全称肯定结论的三段论，但在简单三段论系统中它
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４３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
只有次等的地位，只有在证明Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ式时，才是必需的。
以下就是这两个证明：Ⅻ。
ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５３]５３。
ＣＫＡｂｃＮＡａｃＮＡａｂ５３。
ＲＯ×５４５４。
ＣＫＡｂｃＯａｃＯａｂ５４。
ｂｃ，ｃｂ×５]５。
ＣＫＡｃｂＯａｂＯａｃ（Ｂａｒｏｃｏ）
ＸＩ。
ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５６]５６。
ＣＫＮＡａｃＡａｂＮＡｂｃ５６。
ＲＯ×５７５７。
ＣＫＯａｃＡａｂＯｂｃ５７。
ａｂ，ｂａ×５８]５８。
ＣＫＯｂｃＡｂａＯａｃ（Ｂｏｃａｒｄｏ）
２７。排斥的表达式的公理和规则A关于断定一个命题和排斥一个命题这两种智力活动，①
现代形式逻辑只就第一种加以考虑。
弗莱格把断定的概念和断定符号（）引进了逻辑，它们在以后又得到《数学原b理》的作者们的承认。
然而，就我所知，排斥的概念，从过去到现在一直都被忽略了。
我们断定真命题而排斥假命题。
只有真命题才能加以断
①我把这个区别归功于弗朗茨布伦塔诺（Ｆｒａｎｚ
Ｂｒｅｎｔａｎｏ）
，他把信赖的W活动描述为承认（ａｎｅｒｋｅｎｅｎ）与排斥（ｖｅｒｗｅｒｆｅｎ）。
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２７。排斥的表达式的公理和规则A ５３１
定，因为断定一个原来不真的命题就是一个错误。
关于排斥则不能作类似性质的断定：并非只有假命题才应加以排斥。
每一个命题或真或假，这当然是真的，但也有既不真也不假的命题表达式。
所谓命题函项就是属于这一类的。
命题函项就是包含着自由变项的表达式，对于它们的有些值而言，它可以成为真的，而对于另外一些值而言，它可以成为假的。
以ｐ这个命题变项为例，它既不是真的，也不是假的，因为，对ｐ１它]就成为真的，而对ｐ０它就成为假的了。
现在，关于两个矛盾]命题，ａ与非ａ，一个必定是真的而另一个必是假的，所以一个应当被断定而另一个应被排斥。
但是两个矛盾的命题函项ｐ与Ｎｐ中的任何一个都不能加以断定，因为它们之中的任何一个都不是真的；它们两者都要被排斥。
被亚里士多德排斥的三段论形式都不是命题而是命题函项。
让我们举一个例子。
亚里士多德说，在第一格中当第一个词项属于所有中项，而不属于任何最后的词项时，就不会出现任何三段论。
所以这个三段论形式：（ｉ）ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ没有被他作为正确的三段论来断定，而是加以排斥。
亚里士多德本人提出具体的词项来反驳上述形式：用“人”代ｂ，“动物”代ｃ，以及“石头”代ａ。
但还有其它的值使得公式（ｉ）能被确证：把变项ａ与ｃ等同起来我们就可以得到一个真蕴涵式ＣＫＡｂａＥａｂＩａ，因为它的前提是假的而其后件是真的。
公式（ｉ）的否定：（ｊ）ＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ因此也必须被排斥，因为对于ｃａ它是假的。
]
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６３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
把量词引入这个系统我们就能勿需要排斥。
我们能够断定下面的断定命题以代替对形式（ｉ）的排斥。
（ｋ）ａｂｃＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ。
^这个就是说：有词项ａ，ｂ和ｃ确证（ｉ）的否定。
所以，（ｉ）这形式对于所有ａ，ｂ和ｃ不是真的，而且不能是正确的三段论。
同样，代替对表达式（ｊ）的排斥，我们可以断定这个断定命题：（１）ａｂｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ^但亚里士多德不知道有关量词的任何东西；他使用排斥来代替将带量词的新断定命题加在他的系统中。
因为，排斥似乎是比量化较为简单的概念，让我们随着亚里士多德的步骤来考察。
亚里士多德排斥绝大多数的不正确的三段论形式都是用具体词项来举例说明。
这是我们唯一不能追随他的地方，因为我们不能把像“人”或“动物”这样的具体词项引入逻辑中来。
有些形式必须公理地加以排斥。
我曾发现①如果我们公理地排斥第二格的以下两个式：ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，那么借助于两条排斥的规则也可以排斥所有其它不正确的三段论形式：（ｃ）排斥的分离规则：如果蕴涵式“如果α，则β”被断定了，但后件β被排斥，那么前件α必定也要被排
①见第２０节。
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２７。排斥的表达式的公理和规则A ７３１
斥。
（ｄ）
排斥的代入规则：如果β是α的一个代入，而且β被排斥了，那么α也必定要被排斥。
两条规则都是十分明显的。
三段论形式的数目一共是４×４３＝２５６；２４个形式是正确的三段论，２个形式是公理地排斥了的。
证明其余２３０个不正确的形式都可以用我们的公理和规则来排斥，那将是冗长而可厌的。
我将只用带有前提Ａｂｃ和Ｅａｂ的第一格三段论形式的例子来表明，我们的排斥规则如何在第一条排斥的公理的基础上进行证明。
排斥的表达式我用一个星号加在它们的序数之前来表示。
这样，我们有：
P５９。
ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ（公理）
P５９ａ。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ（公理）
Ｉ。
ｐＩａｃ，ｑＫＡｃｂＡａｂ×６０] ]６０。
ＣＩａｃＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ６０×ＣP６１—P５９P６１。
Ｉａｃ这里第一次应用了排斥的分离规则。
断定的蕴涵式６０有一个排斥的后件，P５９；所以它的前件，P６１，必定也被排斥。
用同样的方法我得到排斥的表达式P６４，P６７，P７１，P７４，和P７。
Ⅴ。
ｐＩａｃ×６２]６２。