化归为初等表达式A ７６１
排斥了ＣｐＣＮｑｒ，现在我们就能够相继地排斥它的各前件直到原来的表达式ＣＣＮｐｑ。
（１４）×Ｃ（P２０）—（１９）
（P２０）ＣＮｐＣＮｑｒ（１３）×Ｃ（P２１）—（P２０）
（P２１）ＣＣＮｐｑＣＮｑｒ（１２）×Ｃ（P２）—（P２１）
（P２）ＣＮＣＮｐｑｒ（１）×Ｃ（P２３）—（P２）
（P２３）ＣＣＮｐｑ用这种方式，你能够反驳Ｃ—Ｎ系统的任何不真的表达式。
所有这些推导本可作得更为简短一些，但是我企图表明包含在判定证明中的这个方法。
这个方法使我们能够在仅仅十五条基本的断定命题（Ｓ１—Ｓ１５）
及排斥公理的基础上有效地去判定，究竟一个给出的Ｃ—Ｎ系统的有意义的表达式是应当被断定还是应当被排斥。
因为演绎理论的所有其它函子都可以用Ｃ与Ｎ来定义，所以演绎理论的所有有意义的表达式都是在一个公理系统的基础上可被判定的。
能够列出十五条基本断定命题的一个公理系统，在这个意义上是完全的，即所有这个系统的真表达式都可以在其中推出。
属于这一类的有：在第２３节提出的三条公理的系统，以及作为变形Ⅳ的基础的那三条公理（即ＣＣｐｑｒＣＮｐｒ，ＣｐｑｒＣｑｒ以及ＣＣＮｐｒＣＣｑｒＣCＣｐｑｒ）的系统。
根据定理（ＴＡ）
，每一个有意义的亚里士多德逻辑的表达式，能够化归为初等表达式，这个定理的证明隐含地包括在
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８６１第五章 判定问题
对于演绎理论的类似定理的证明之中。
如果我们把用于变形Ⅰ—Ⅶ中之希腊字母（除了在变形Ⅰ中最后的那个变项之外）代之以亚里士多德逻辑的命题表达式，我们能够用同样的方式应用这些变形于它们，犹如用于演绎理论的表达式一样。
在ＣＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ的例子中，能够容易地看出这一点来。
我们得到：ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ～ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ由Ⅰ；ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅲ；ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ，
ＣＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅳ；ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ～ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ由Ⅱ。
我们通常能够写Ｏａｂ来代替ＮＡａｂ，以Ｅａｂ代替ＮＩａｂ。
然而，应用带Ｎ的形式在今后将是更为便利的。
ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ所化归成的ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ与ＣＡｂａCＣＮＩａｂｐ这两个初等表达式，都有一个变项作为它们的最后的词项。
这个变项是由变形Ⅰ引入的。
我们能够用以下的演绎等值的变形消去它，其中π是一个不在α或β中出现的命题变项：Ⅷ。
ＣαＣβπ～ＣαＮβ对于Ｓ１７与Ｓ１８而言，Ⅸ。
ＣαＣＮβπ～Ｃαβ对于Ｓ１９与Ｓ２０而言。
对于变形Ⅷ的断定命题：Ｓ１７。
ＣｐＣｑＮｑＣｐＮｑＳ１８。
ＣｐＮｑＣｐＣｑｒ。
对于变形Ⅸ的断定命题：Ｓ１９。
ＣｐＣＮｑＣｐｑ
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３。三段论系统的初等表达式A ９６１
Ｓ２０。
ＣｐｑＣｐＣＮｑｒ。
当ＣαＣβπ被断定了，用Ｎβ替代π我们从它得到表达式ＣαＣβＮβ，并随后再用Ｓ１７得到ＣαＮβ；并且，反过来，用Ｓ１８从ＣαＮβ得到表达式ＣαＣβπ。
当ＣαＣβπ被排斥时，由Ｓ１８我们得到ＣＣαＮβＣαＣβπ，所以ＣαＮβ必须被排斥；并且反过来，当ＣαＮβ被排斥时，由Ｓ１７我们得到ＣＣαＣβＮβＣαＮβ，所以ＣαＣβＮβ必须被排斥，从而ＣαＣβπ也必须被排斥。
变形Ⅸ能用同样的方式加以解释。
这一点我们可以直接地应用于我们的例子。
以Ａａｂ代α，Ｉａｂ代β，以及ｐ代π；你得到ＣＡａｂ
Ｉａｂ。
用同样方式，从ＣＡｂａ
ＣＮＩａｂｐ得出ＣＡｂａＩａｂ。
如果我们有多于两个前件的表达式，例如，有几个前件，我们必须重复地应用变形Ⅶ，首先把ｎ—１个前件化为一个前件，然后再应用变形Ⅷ和Ⅸ。
例如，举以下例子：ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ，ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ由Ⅷ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ；ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ。
定理（ＴＡ）
现在充分地被证明了。
所以我们能够进行到我们的主要项目：亚里士多德三段论系统的判定的证明。
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０７１第五章 判定问题
３。三段论系统的初等表达式A根据定理（ＴＡ）
，亚里士多德三段论系统的表达式都能够用演绎地等值的方式化归为一组初等表达式，亦即具有
Ｃα１Ｃα２Ｃα３Ｃαｎ１ＣαｎC形式的表达式，其中所有的α都是三段论系统的简单表达式，亦即Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ或ＮＩａｂ，以及Ｏａｂ或ＮＡａｂ等类型的表达式。
现在，我将表明三段论系统的每一个初等表达式都是可判定的，也就是说或者被断定，或者被排斥。
我将首先证明所有简单表达式（除Ａａａ及Ｉａａ型的表达式外）都是被排斥的。
我们已经看到（第２７节，公式P６１）
Ｉａｃ是被排斥的。
这里是其它表达式的排斥的证明：P６１×P１０。
ｃｂ] P１０。
Ｉａｂ８×ＣP１０１－P１００（８，ＣＡａｂＩａｂ）
P１０１。
ＡａｂＩＶ。
ｐＡａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１０２] ]（ＩＶ。
ＣｐＣＮｐｑ）
１０２。
ＣＮＡａⅠａｂ１０２×ＣP１０３—P１０P１０３。
ＮＡａａ（＝Ｏａ）
P１０３×P１０４。
ｂａ] P１０４。
ＮＡａｂ（＝Ｏａｂ）
ＩＶ。
ｐＩａ，ｑＩａｂ×Ｃ２—１０５]１０５。
ＣＮＩａＩａｂ
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３。三段论系统的初等表达式A １７１
１０５×ＣP１０６—P１０P１０６。
ＮＩａａ（＝Ｅａ）
P１０６×P１０７ｂａ] P１０７ＮＩａｂ（＝Ｅａｂ）
现在转向复杂的初等表达式，我将相继地研究所有可能的情况，而省去可能的形式证明，而仅提出它们如何能得以证明的提示。
有六种情况应当加以研究。
第一种情况：后件αｎ是否定的，而所有各前件都是肯定的。
这样的表达式都是被排斥的。
证明：把在这个表达式中出现的所有变项都等同于ａ，作为同一律Ａａｕ或Ｉａ，所有前件都成为真的，而后件成为假的。
我们看出，对于这个情况的解决说来，同一律乃是根本的。
第二种情况：后件是否定的，并且只有一个前件是否定的。
这个情况可以化归为只具有肯定元素的情况，并且这样的情况，如我们随后将看到的，总是可判定的。
证明：ＣαＣＮβＮγ形式的表达式都演绎地等值于ＣαＣγβ形式的表达式（对于断定命题ＣＣｐＣＮｒＮｑＣｐＣｑｒ与ＣＣｐＣｑｒCＣｐＣＮｒＮｑ而言）
，这不仅对于一个肯定的前件α是真的，而且对于任何数量的肯定的前件都是真的。