这种分析使我们遇到两个巨大的困难：第一个困难是与亚里士多德承认有真的必然命题相联系，第二个困难是与他承认有真的偶然命题相联系。
两个困难都将在亚里士多德的模态三段论中重新出现：第一个困难重现在具有一个实然前提和一个必然前提的三段论理论中；第二个困难重现在他的偶然三段论的理论中。
如果我们希望克服这些困难，并解释和评价他的模态三段论，我们必须首先建立一个可靠的并且前后一贯的模态逻辑系统。
-- 233
第七章 模态逻辑系统
４６。真值表方法A为了充分了解在本章中所阐述的模态逻辑系统，必须熟悉真值表方法。
这个方法可以运用于一切逻辑系统，在这些系统中会出现真值函项，即出现这样的函项，它的真值仅仅依赖于它们的主目的真值。
古典命题演算是一个二值系统，它假定了两个真值：“真”
（用１表示）和“假”
（用０表示）。
按照麦加拉的菲罗的意见，一个蕴涵式总是真的，除非它是以真起始而以假结尾。
这用符号表示就是：Ｃ１＝Ｃ０１＝Ｃ０＝１，而只有Ｃ１０＝０。
显然，真命题的否定是假的（即Ｎ１＝０）
，而假命题的否定则是真的，（即Ｎ０＝１）。
这些符号等式常借助于“真值表”
（或称为“矩阵”）来表示。
Ｃ和Ｎ的二值真值表Ｍ１可以描述如下：Ｃ的真值排列成横行和纵栏而形成一个正方形，并且为左边和上端的直线所分开。
第一个主目的真值放在正方形的左边，第二个主目的真值放在正方形的上端，而Ｃ的真值可以在正方形中找到，在这个正方形中，能够想象到的、从正方形的边沿的各真值划起的许多直线彼此交叉看。
Ｎ的真值表则是容易了解的。
-- 234
２２第七章 模态逻辑系统
借助于这个真值表，古典命题演算，即Ｃ—Ｎ—ｐ演算中的任何表达式都可以机械地加以验证，即当它被断定时加以证明，和被排斥时加以否证。
它满足于这样的目的，将值１和值０去代替变项的一切可能的结合时，如果每一种结合按照真值表所规定的等式最后导至１，那末，这个表达式就是被证明的；如果不是这样，它就是被否证的。
例如，ＣｐｑＣＮｐＮｑ根据Ｍ１而被否证，因为当Ｐ＝０和ｑ＝１时，我们有：Ｃ０１ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ１Ｃ１０＝Ｃ１０＝０。
相反，我们的Ｃ—Ｎ—ｐ系统的公理之一ＣｐＣＮｐｑ①根据Ｍ１而得到证明，因为我们有：当ｐ＝１，ｑ＝１：Ｃ１ＣＮ１＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，当ｐ＝１，ｑ＝０：Ｃ１ＣＮ１０＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝１：Ｃ０ＣＮ０１＝Ｃ０Ｃ１＝Ｃ０１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝０：Ｃ０ＣＮ０＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１。
用同样的方法我们可以验证Ｃ—Ｎ—ｐ系统另外两个公理ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ和ＣＣＮｐ。
因为Ｍ１是这样构成的：关于断定的表达式的替代规则和分离规则永远产生１的这种特性是有传递性的，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有断定的公式都能用真值表
①参阅第１０页。
-- 235
４６。真值表方法A ３２
Ｍ１加以证明。
同样，因为关于被排斥的表达式的推论规则不经常产生１的这种特性是有传递性的，如果ｐ按照公理是被排斥的，那末，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有被排斥的公式都能用Ｍ１加以否证。
一个真值表能验证一个系统中所有的公式，即证明被断定的公式和否证被排斥的公式，这个真值表对这个系统来说，称之为“足够的”。
Ｍ１是古典的命题演算一个“足够的”真值表。
Ｍ１对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说不是唯一足够的真值表。
我们通过Ｍ１和自身“相乘”
而得出另一个足够的真值表Ｍ３。
得出Ｍ３的过程可以描述如下：首先，我们形成１和０的有序对偶值，即：（１，１）
，（１，０）
，（０，１）
，（０、０）
，它们是新真值表的元素。
其次，我们借助下述等式决定Ｃ和Ｎ的真值：（ｙ）Ｃ（ａ，ｂ）
（ｃ，ｄ）＝（Ｃａｃ，Ｃｂｄ）
，（２）Ｎ（ａ，ｂ）＝（Ｎａ，Ｎｂ）。
然后，我们按照这些等式建立真值表Ｍ２，最后，通过简化式：（１，１）＝１，（１，０）＝２，（０，１）＝３和（０，０）＝０而将Ｍ２改变为Ｍ３。
-- 236
４２２第七章 模态逻辑系统
Ｍ３中的符号１仍旧标志真，而０仍旧标志假。
新的符号２和３可以解释为真和假的补充记号。
这通过将其中之一（究竟是哪一个这没有关系）等同于１，而另一个等同于０就可以看出来。
请看Ｍ４，那里２＝１，而３＝０。
Ｍ４的第二行和第一行相同，而第四行与第三行相同；同样，Ｍ４的第二栏和第一栏相同，而第四栏与第三栏相同。
消除中间多余的各行和各栏，我们就得出Ｍ１。
用同样的方式我们从Ｍ５得出Ｍ１，那里２＝０和３＝１。
Ｍ３是一个四值的真值表。
Ｍ３乘以Ｍ１，我们得出一个八值的真值表，继续乘以Ｍ１，就得出十六值真值表，并且一般
-- 237
４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ５２
地说，得出一个２ｎ值的真值表。
所有这些真值表对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说都是足够的，并且如果我们通过导入变项函子的方式去扩充系统的话，对它继续是足够的。
４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A我们已经遇到两个带有变项函子δ的断定命题：扩展原则ＣＱｐｑＣδｐδｑ和断定命题ＣδｐＣδＮｐδｑ。
由于后一断定命题是我们模态逻辑系统的一个公理，这就有必要对借助于δ而扩充的Ｃ—Ｎ—ｐ系统给以充分的解释，这个扩充了的系统，我们跟随麦雷狄士称之为Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统。
这样做更有必要，是因为对带有δ的系统，甚至一些逻辑学家也几乎是完全无知的。
将变项函子引入命题逻辑，应当归功于波兰逻辑学家列斯涅夫斯基。
通过修改他的关于变项函子的替代规则，我就能得出简易而良好的证明①。
首先须要解释一下这个规则。
我用δ标志一个带有一个命题主目的变项函子，并且断定：如果ｐ是一个有意义的表达式，那末，δｐ就是一个有意义的表达式。
我们考察一下，带有一个变项函子的、最简单的、有意义的表达式，即δｐ的涵义是什么。
一个变项是一个被看作关于一定值域的单个的字母，这些值可以用来替代这个字母。
替代就意味着实际地书写它的
①参阅杨卢卡西维茨：《论命题主目的变项函子》（Ｏｎ
Ｖａｒｉａｂｌｅ
ＦｕｎｃW Cｔｏｒｓ
ｏｆ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
Ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）
，载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ２。
-- 238
６２２第七章 模态逻辑系统
一个值去代替这个变项，同一变项的每一次出现都用同样的值去代替。
在Ｃ—Ｎ—ｐ系统中，命题变项（如ｐ或ｑ）的值域是由这个系统中所有有意义的命题的表达式所组成的。
除此以外，还可以导入两个常项：１和０，即一个恒真命题和一个恒假命题。
那末，什么是函子变项δ的值域呢？
很明显，我们可以将任何一值去代替δ，只要这个值与ｐ一起能提供一个在我们系统中有意义的表达式。
不仅带一个命题主目的常函子（例如Ｎ）是如此，就是与带一个主目的函子起相同作用的复合表达式也是如此（例如Ｃｑ或ＣＮｐ）。
通过替代δＣｑ，我们从δｐ得出表达式Ｃｑｐ，而通过]δＣＣＮｐ，则得出表达式ＣＣＮｐ。