自古典时代以来，人们就在思索“无限”及其性质。然而，关于无限有许多很不直观的观念，这些观念对我们的直觉是一种挑战。随后，这些违反直觉的观念成为现代科学的中流砥柱。
理性最后的功能是认识到有无限的事物存在于它的边界之外。如果它看得不够远，还不能知道这一点的话，它就是虚弱无力的。
——布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）
飞越无垠！
——巴斯光年，《玩具总动员》（Toy Story，1995）
外面有无数只猴子想要进来和咱们讨论它们创作的剧本《哈姆雷特》。
——道格拉斯·亚当斯（Douglas Adams，1952—2001），《银河系漫游指南》（The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy）
自古典时代以来，人们就在思索无限及其性质。在过去的大部分时间里，我们对无限的想法都充斥着难以承受严格论证的检验的奇怪观念。带着这样的混乱，中世纪的人们喋喋不休地讨论着空洞愚蠢的问题，比如“大头针的头上可以容下多少天使跳舞？”19世纪末，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845—1918）和他的几位伙伴终于抓住了这个需要小心对待的主题，取得了一些进展。然而，关于无限的新科学有许多很不直观的观念，这些观念对我们的直觉是一种挑战。
我们需要意识到，关于无限的观念并不只是在象牙塔里神情茫然的教授们中间泛滥的抽象学术思考。相反，整个微积分学都以本章提到的关于无限的现代观念为基础。而微积分学又是所有现代数学、物理学和工程学的基础，正是这些学科让我们高度发达的技术文明成为可能。违反直觉的无限观念之所以是现代科学的中流砥柱，是因为它们行之有效。我们不能简单地忽视它们。
第4章第1节讨论的是集合的基本语言。在这一节，我只论述了较为熟悉的有限集合，并对两个集合在什么情况下大小相等进行了妥帖的定义。在第2节中，我会将这个在有限集合中十分适用的定义应用在无限集合中，看一看会发生什么。无限的奇异世界开始让生活变得更加有趣。本章的核心是第3节，我们将会遇到无限的不同层次。在这个过程中，我们将学到一种有力的证明方法，称为对角化（diagonalization）。我用第4节作为结尾，并在这一节讨论更为高阶和哲学的主题。
摘自帕斯卡的《沉思录》（Pensée，267），法语原文：La dernière démarche de la raison est de reconnaître qu’il y a une infinité de choses qui la surpassent,Elle ’est que faible si elle ne va jusqu’à connaître cela。
有限集合
无限的概念是用集合的语言表达的。集合是一系列可区分对象的合集。这些对象可以是任何事物和所有事物（包括其他集合）。集合中的对象称为该集合的元素。集合可以用大括号包围其元素的形式表示。所以集合
{a,b,c}
有三个元素，分别是字母a，b和c。我们可以谈论某个班级的学生组成的集合、红色汽车组成的集合、美国居民组成的集合、分数组成的集合等。
集合有多种不同的表示方法。我们可以逐个列出集合的元素，如：
{狗，猫，鹦鹉，鱼，蛇}，
我们也可以用描述的方式表示同一个集合：
{x：x是五种最受欢迎的家养宠物之一}，
这个集合读作“包含所有x的集合，x是五种最受欢迎的家养宠物之一”。还有一个例子
{3,5,7,9,11}，
它和下面这个集合是一样的
{x：x是大于等于3且小于12的奇数}。
在谈论无限集合的时候，我有时会用省略号（…）表示这个集合是无限延伸的。例如，质数的集合可以写成
{2,3,5,7,11,13,…}。
大写字母可以作为描述特定集合的名称：D={1,3,5,7,9,11,13,15,…}。
对于两个集合而言，如果每个集合的每个元素都是另一集合的元素，反之亦然，那么这两个集合是相等的。所以如果
F={x：x是奇数}，很显然
D=F。
某些集合会成为其他集合的子集合，简称子集。某个班级女生的集合很显然是该班级所有学生的集合的子集。这是因为这个班级的每个女生都是班上的学生。一般而言，对于两个集合S和T，如果S的每个元素都是T的元素，我们就可以说S是T的一个子集。需要注意的是，T的子集也可以等于集合T本身。如果S是T的子集且不等于T，那么S就是T的真子集（proper subset）。也就是说，如果某个子集等于整个集合的话，它就不是该集合的真子集。如果T的某些元素不是S的元素，那么S就是T的真子集。就元素的数量而言，如果S的元素数量少于或等于T，S就是T的子集。如果S的元素数量少于T，那么它就是T的真子集。当我们在下一节遇到无限集合时，关于有限集合的这一显而易见的事实将成为关键问题所在。
存在一个特殊的集合，它没有任何元素。这个集合叫作空集，表示为∅。对于任意集合S而言，下列命题都是正确的：
∅的每个元素也是S的元素。
因为∅中没有元素。所以∅是S的子集。
对于任意集合S，我们将S的所有子集组成的集合称为S的幂集（power set），表示为（S）。例如，如果S={a,b}，
那么
（S）={∅,{a},{b},{a,b}}。
注意，这个集合拥有4个元素，其中3个是S的真子集。如果S有3个元素，例如S={a,b,c}，那么S的幂集除了拥有之前的子集即∅,{a},{b},{a,b}之外，还可以在每个这些子集中加上一个元素c，于是我们得到了子集{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}。所以我们有
（{a,b,c}）={∅,{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。
也就是说，通过在集合S中加入元素C，子集的数量翻了一番。对于含有两个元素的集合，其幂集含有4个元素。对于含有3个元素的集合，其幂集含有2×4=8个元素。对于含有4个元素的集合，其幂集含有2×8=16个元素。一般地，含有n个元素的集合的幂集拥有
个元素。所以通常情况下，一个集合的幂集比该集合大得多。两个集合在什么情况下大小相等呢？思考集合
S={a,b,c,d,e}
和家养宠物集合
T={狗，猫，鹦鹉，鱼，蛇}。
这两个集合很显然大小相等：它们都拥有5个元素。然而不如让我们用另一种方式审视这一显而易见的事实。S和T大小相等，是因为我们可以将S的每一个元素与T的每个独一无二的元素一一对应起来。也就是说，S和T大小相等，因为存在某种关联可以将S的每个元素与T的每个独一无二的元素配对，反之亦然。对S的每个元素来说，集合T中都有一个独一无二的对应元素，而对T的每个元素来说，集合S中也有一个独一无二的对应元素。这种配对关系可以用下图表示：
这两个集合还存在其他配对关系，例如：
实际上，S和T都能与下列集合建立这种关联：
{1,2,3,4,5}。
在这些对应关系下，我们可以很确定地说，所有这些集合都拥有5个元素。
这个简单的概念是本章的核心。如果任意两个集合S和T之间存在这种对应关系，我们会说它们是等势的（equinumerous）或大小相等的。这两个集合会被认为拥有相等的势（cardinality）。
等势集合的例子非常多：
●全世界人类心脏的集合与全世界人类的集合大小相等。（注意，这不能推广到耳朵上，因为人一般有两只耳朵。）
●美国各州的集合
{亚拉巴马州，阿拉斯加州，亚利桑那州，……，威斯康星州，怀俄明州}
可以和美国各州首府的集合建立对应关系：
{蒙哥马利，朱诺，凤凰城，……，麦迪逊，夏延}，
后者可以和下面的结合建立对应关系：
{1,2,3,…,49,50}。
●国际标准书号（ISBN）的集合可以和出版图书的集合对应起来。
有限集合的世界以及它们之间的对应关系非常直截了当。对两个集合大小相等的定义是绝对合理的。现在让我们向前踏出一小步，进入无限的疆域吧。
无限集合
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）是他那一代人里面最伟大的数学家，他讲过一个有趣的故事。想象一下，你拥有一家客房数量无限多的酒店。我们不妨将它称为“希尔伯特酒店”。这一天，酒店的生意很好，无限多的客房中的每一间都有客人入住。此时又有一位客人开车前来，他需要一个房间。你不想在一个寒风大作的夜晚把他打发走，但你所有的房间都满了。怎么办呢？希尔伯特提出了一项建议：打开酒店的广播系统，让无穷多个客人中的每一个都转移到下一个房间里去。于是57号房间的客人转移到58号房间里去，53462号房间的客人转移到53463号房间里去。总而言之，n号房间里的每一名客人都转移到n+1号房间里去。这样就能把1号房间空出来，留给这位深表感激的新客人入住了。
让我们继续讲述这个故事。正当所有客人都在自己的新房间里安顿下来，美美地安睡之时，一辆长途汽车停在希尔伯特酒店的门口，车上下来了无限多位旅客，每个人都要求住一个房间。你的无限多的客房中的每一个都已经住了客人，而你急切需要无限多个空房间。一位诚实的酒店经理应该怎么办呢？希尔伯特仍然有好点子：打开你的酒店广播，让每一位客人都换到房间号是他们目前房间号两倍的房间里去。也就是说，57号房间的客人换到114号房间去，53462号房间的客人换到106924号房间去。总而言之，n号房间里的每一名客人都转移到2n号房间里去。这样一来，所有偶数号房间都会住上人，而所有奇数号房间都会空出来，供乘坐长途汽车而来的疲惫旅人入住。
需要注意的是，这些花招不适用于那些房间数量有限的无趣标准酒店。只有在房间数量无限的酷炫的希尔伯特酒店里，我们才能随意转移客人，不用担心失去任何客源。在第一个例子中，希尔伯特真正向我们指出的是，房间号的无限集合{1,2,3,4,5,…}和它的真子集{2,3,4,5,…}存在各项元素一一对应的关系。在第二个例子中，希尔伯特指出房间号的集合{1,2,3,4,5,…}和它的真子集{2,4,6,8,10,…}存在各项元素一一对应的关系。这些违反直觉的奇怪配对关系就是我们将要在本节探讨的内容。
与其讲述关于虚构酒店的故事，不如让我们来看一些真正的无限集合吧。无限集合的例子有很多，但这些集合必须不能是物体的集合，因为宇宙中物体的数量是有限的。许多其他概念如数字可以构成无限集合。有很多常见的无限数字集合：
●自然数，N={0,1,2,3,…}
●整数，Z={…,–3,–2,–1,0,1,2,3,…}
●有理数或分数,Q={m/n:m和n属于Z且n不等于0}
●实数，R
自然数是所有整数的真子集。
每个整数n都可以认为是分数n/1，所以整数可以看成是所有有理数的真子集。最后，实数是所有数字的集合，甚至包括那些无法用分数表示的数字。早在2500多年前，人们就知道某些数字无法写成分数，如，e，–π，和。这样的数字称为“无理数”。实数集R包括所有有理数和无理数。所以有理数是实数的真子集。
思考偶数集合
E={0,2,4,6,…}。
每个偶数都是自然数，所以E显然是自然数集合N的真子集。实际上，我们可以说自然数的数量是偶数的两倍，毕竟自然数包括偶数和奇数两种数字！但我们先不要那么信任我们对集合和子集的直觉。相反，让我们重拾上一节中提到的对等势的定义。自然数和偶数之间存在一一的对应关系：只需要让每个自然数n与相应的偶数2n对应即可：
这说明N和E的大小相等。这怎么可能呢？自然数的数量怎么可能和偶数的数量一样多呢？奇数呢？部分的大小怎么会等于整体呢？
我们在哪里弄错了？答案是我们并没有弄错。我们在这里使用了用在有限集合上的推理过程。然而，对于有限集合，拥有相同的大小符合我们的直觉。对于无限集合，逻辑学认为我们的直觉不再有效，而且需要修正。伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564—1642）是第一个在写作中提到无限集合的这点奇异之处的人。他指出一个无限集合可以和自身的真子集等势。在自伽利略以来的四百年里，这个新定义已经被所有数学和物理学领域接受了。我们不能因为它违反我们的直觉而忽视它。相反，这种定义对于我们在理解宇宙的过程中使用的模型而言是至关重要的，而且它还被用来进行科学预测。我们必须理解并接受这种定义。我们的直觉需要调整。
继续来看更多无限集合吧！假设集合S为平方数的和，也就是说，这些数是整数与其自身的乘积：
S={0,1,4,9,16,25,…}。
这个集合是个无限集合，而且它还是自然数集合N的真子集。平方数的数量比偶数的数量少得多：在前100个自然数中，只有10个平方数。然而，S可以和自然数形成一一对应的关系：
这种对应关系表明自然数和它们的真子集的平方是等势的。它们拥有相等的势。我们能用数字来描述这些集合中元素的数量吗？显然任何有限的数字都无法胜任这项任务。康托尔（Cantor）用符号表示这些无限集合的势，发音为“阿列夫零”（aleph-null）。阿列夫（）是希伯来字母表中的第一个字母。所有与自然数集合N等势的集合，其势都等于，并被称为可数无限（countably infinit）集合。必须意识到的是，我们无法数完这样的无限集合。然而我们至少可以开始数它们。通过查看与自然数的对比关系，我们可以说出第0个元素是什么，第1个元素是什么，第2个元素是什么，等等。
还有其他集合拥有这样的势。还记得质数吗，如果一个数只能被1和它本身整除，它就是质数。思考由所有质数组成的集合：
虽然看上去质数的数量比自然数少得多，但一一对应的关系仍然存在：
这表明P等势于自然数集合。我们如何描述这种对应关系呢？第42个质数是什么？不存在任何简单的公式向我们提供这个信息。然而，即使不容易描述这种对应关系，我们只需要这样一种对应关系存在且它表明P的势等于就够了。
到目前为止，我们讨论过的所有无限集合都是自然数集合的真子集。那些看上去比自然数集合更大的集合呢？这些集合真的比自然数集合更大吗？思考整数集合
Z={…,–3,–2,–1,0,1,2,3,…}。
自然数集合是集合Z的真子集，因为Z还包括负整数。我们如何在自然数集合N和同时包括正负自然数的集合Z之间建立对应关系呢？幸运的是，像康托尔这样极为聪明的人着手研究了这个问题，并且找到了一种简单的对应方式，如下表所示：
通过机智地将N分为偶数和奇数，我们可以让N的奇数对应Z的正整数，而让N的偶数对应Z的负整数。由于我们永远无法穷尽奇数或偶数，于是Z的每个元素都会得到配对。这正是我们在希尔伯特酒店里所做的事，我们给老客人组成的无限集合分配了偶数号房间，给新客人组成的无限集合分配了奇数号房间。
让我们看看一个真正巨大的集合吧。让我们思考由自然数有序对构成的集合N×N。它是数字对
因为m有无限多个，所以集合N×N有无限多个N的拷贝。整数集合Z拥有N的两个拷贝，一个拷贝是正的，一个拷贝是负的。相比之下，集合N×N有无限多个N的拷贝。我们的直觉告诉我们，这个集合的元素数量比N多得多。我们的直觉是错误的！康托尔是一个非常聪明的人，他在N和N×N这两个集合之间也找到了对应方式。可以像下表这样表示这种对应方式：
为了清楚地看出这种对应关系，可以将自然数看成一长列数字，如图4.1所示。
图4.1 N是一条无限长的蛇
按照图4.2的方式将N×N写出来，从左下角开始按照之字形路线将这些数字连接起来。
由于这两个集合是无限集合，而我们只有一张面积有限的纸，所以我们无法将它们的对应关系全部展示出来。不过按照这种模式，每个有序自然数对，包括<303,1227>在内，最终都会与N中的某个自然数对应。出于显而易见的原因，这种证明有时称为之字形证明（zigzag proof）。总之，集合N×N与集合N等势，其势为。
图4.2 N和N×N之间的对应关系
那么有理数的集合Q呢？分数的数量当然比自然数多！毕竟集合N中的每个n都是集合Q中的n/1。所以Q含有N的一个拷贝：
0/1,1/1,2/1,3/1,…
但是Q还含有
n/1,n/2,n/3,n/4,…
我们也不要忘记负分数：
–n/1,–n/2,–n/3,–n/4,…
除此之外，需要注意的是任意两个分数——比如3/5和4/5——之间总会存在另一个分数：7/10。我们还可以继续列举下去：3/5和7/10之间还有13/20。看上去似乎很明显，有理数的数量比自然数多多了。然而，现在你应该能够预料到，事情并不简单。有理数的数量看上去比自然数多得多，但是实际上，它们是同样多的。为了说明这一点，我们将展示N和Q之间的对应关系，如图4.3所示。
再一次地，自然数“蛇行”贯穿分数，最终将每个分数串联起来。这种证明方式有时称为项链证明（necklace proof）。你能看出为什么叫这个名字吗？
图4.3 N和Q之间的对应关系
然而这里存在一个小小的问题。我们在图4.3中列出的有理数存在重复的情况。有理数4/7的值等于8/14。所以我们真的建立了N和有理数集合的对应关系吗？实际上，我们做到了更难的事情：我们建立了N和一个比有理数更大的集合的对应关系。不过也有办法建立N和有理数集合的关系，只需要让这条连线跳过之前已经出现过的分数即可。
综上所述，许多看上去比自然数集合无限大的集合实际上与自然数集合等势。是否存在某个无限集合真的比自然数集合更大呢？
我们将在第9章第1节中见到更多。
比无限大更大的数
读完上一章之后，有人会得出这样的结论，只要足够聪明，每个无限集合都可以和自然数集合形成一一对应的关系。康托尔一度也是这么想的，直到他考虑到实数。
康托尔思考了0和1之间所有实数构成的实数的子集。这个子集表示为（0,1），包含像0.43905346…、0.5、0.373468…等这样的数字。他试图在自然数集合N和集合（0,1）之间找到一一对应的关系。他想寻找与在上一节中非常奏效的之字形或项链证明类似的某种技巧。或许我们可以让自然数以某种方式“蛇行”穿过（0,1）的每一个点，就像图4.4所描绘的那样。
图4.4 在N和（0,1）之间建立联系的（失败）尝试
这根线上面的数字是自然数，下面的数字是和这些自然数相对应的实数。这种对应关系可以写成下面这个表格：
但是这种对应关系并不奏效。实际上，康托尔将自然数与（0,1）一一对应的每种尝试都失败了。他发现（0,1）总是会有部分元素在自己尝试的配对关系中被漏掉。
康托尔没能找到一一对应的关系，但他证明了有趣得多的事情：这种对应关系没有存在的可能。他指出并不是因为自己不够聪明所以找不到这种对应关系。无论一个人有多聪明，都找不到这样的对应关系，因为这样的对应关系不可能存在。通过指出自然数与集合（0,1）之间不存在一一对应的关系，康托尔证明了集合（0,1）其实比自然数集合N更大。我们马上就会呈现这种优雅简洁的证明方法。
与自然数集合等势的无限集合被称作是可数无限的。我们至少可以开始数这些集合。和自然数的对应关系可以帮助我们数一数这些集合。我们在上一节中看到，集合N、E、P、Z、N×N和Q都是可数无限的。按照这种推理方式，不能和自然数形成对应关系的无限集合被称作是不可数无限的（uncountably infinit）。我们甚至无法逐个列出不可数无限集合开头的若干元素。我们将证明（0,1）是不可数无限的。与可数无限集合相比，不可数无限集合大得多。
康托尔的研究结果是无限存在不同类型或层次的首个证据。这太违反直觉了。毕竟，谁能想到“永永远远，绝不停息”还会有不同的类型呢？但实际上就是有。通过严格遵循两个集合大小相等的逻辑定义，康托尔得出了这个重大结论。再一次地——而且这一点怎么强调也不为过，无限的不同层次之间的差别被用在现代微积分学中。掌握了这种知识后，工程师和物理学家们制造出了桥梁和火箭。如果你知道某位工程师不相信康托尔的工作，你还敢穿过他设计建造的现代吊桥，那你未免也太鲁莽了。虽然看上去很违反直觉，但无限的不同层次奠定了我们对宇宙的理解。
这个证明实际上是反证法。为了指出N和（0,1）不存在一一对应的关系，康托尔（错误地）假设这种对应是存在的，并由此推导出了矛盾。
按照第1章中的样式，我们写道：
N和（0,1）之间有对应关系⇒矛盾。
推导出来的矛盾是存在某个0到1之间的实数，它无法与假设对应关系中的任何相应元素配对。由于我们假设这种对应关系能够将0和1之间的每个实数与每个自然数一一配对，于是就产生了矛盾。
通俗地说，该证明描述了一个0和1之间的实数，而且：
这个实数不位于假设的对应关系中。
或者更精确地说，
这个实数和假设对应关系中的其他每个数字都不同。
该证明称作对角化证明（diagonalization proof），证明过程如下。假设全体自然数和（0,1）的每个元素之间都存着某种奇妙的一一对应关系。我们可以将这种对应关系用图4.5表示出来。
图4.5 N和（0,1）所谓的对应关系及其对角线
左边一列是自然数，然后我们在右边写下与每个自然数相对应的（0,1）中的数字。在这种所谓的对应关系下，我们仍然可以描述出一个这张清单上不可能有的数字。这个数字是0至1之间的一个实数，表示为D［对角线（diagonal）的首字母］。D这个数字是从图4.5列出的对应关系的对角线中推导出来的。
●D的第0位数字是6，因为它比与自然数0对应的实数的第0位数字5大1。
●D的第1位数字是4，因为它比与自然数1对应的实数的第1位数字3大1。
●D的第2位数字是0，因为它与自然数2对应的实数的第2位数字9不同。
●D的第3位数字是……
D在每一位上的数字都以此类推。我们可以删去图4.5中不重要的部分，看看图4.6对数字D的描述。
图4.6 对不存在于假设的对应关系中的数字D的描述
所以这个数字是0.640914187…这个数字显然属于集合（0,1）。然而它却不在假设的对应关系中。让我们找找它的位置：
●数字D无法与0对应，因为0对应的有理数在0位数字上是5，而数字D在0位数字上是6。
●数字D无法与1对应，因为数字1对应的有理数在1位数字上是3，而数字D在1位数字上是4。
●数字D无法与2对应，因为数字2对应的有理数在2位数字上是9，而数字D在2位数字上是0。
●数字D无法与3对应，因为数字3对应的有理数在3位数字上是8，而数字D在3位数字上是9。
……
●数字D无法与d0对应，因为数字d0对应的有理数在d0位数字上是x，而数字D在d0位数字上不是x。
……
由于D不在这种对应关系中，我们的结论是，这种假设的对应关系根本就不是真正一一对应的关系。实际上，我们所做的事情就是描述了一个和假设对应表格每一行数字都不相同的数字D。需要注意的是，D不是唯一一个不出现在这种对应关系中的数字。想要发现这样的数字，你只需要逐个查看每一行数字并改掉某些位置的数字即可。通过这种方式，我们就能发现那些与任何一行都不同的数字。在上面的例子中，我们沿着对角线改动了每一行数字中的某一位置上的数字，但我们也可以用别的方式实现这一点。我们的改动是在相应数字上加1（9除外，我们将9改成了0），然而还有其他很多种方式可以用来改动这些数字。
也许会有人尝试描述另一种可能的对应关系，令数字D出现在这个对应表格中。然而同样的方法同样适用于新提出的对应关系。会有0至1之间的另一个数字D′无法出现在对应表格中，尽管按照假设它应该在里面。任何可能的对应关系都会遗漏（0,1）的部分元素。
我们的结论是，在任何假设的对应关系中，集合（0,1）中没有得到配对的数字比得到配对的数字多得多。也就是说，集合（0，1）比自然数集合大得多。与可数无限集合相比，不可数无限集合极为庞大。在这本书里，我们将反复回顾这个事实。许多集合都将被指出是可数无限的，和不可数无限的大集合相比，它们显得甚为小巧。实际上，当我们从不可数无限集合中“减去”一个可数无限集合时，我们仍然会得到一个不可数无限集合。
还有许多其他不可数无限集合。思考自然数集合的幂集（N），也就是N的所有子集的集合。我们已经知道，对于拥有n个元素的有限集合，（N）的大小是2n。有人可能会认为，对于无限集合而言，可能存在某种方法令一个集合与它的幂集建立一一对应的关系。这种想法并不正确。无限集合与其幂集的对应关系不可能存在。
同样可以用反证法证明这一点：
N和（N）之间存在一一对应的关系⇒矛盾。
推导出矛盾的方式是描述自然数的一个子集，也就是（N）的一个元素，且它不在假设的对应关系中。由于我们假设自然数集合的每一个子集都能与某个自然数配对，矛盾就产生了。
通俗地说，该证明描述了自然数的一个子集，而且
自然数的这个子集不存在于假设的对应关系中。
或者更精确地说，
自然数的这个子集和这种对应关系中自然数的每个子集都不同。
同样可以用对角化证明来指出这一点。假设N和（N）之间存在某种一一对应的关系——也就是说，存在某种方式，令每个自然数n与自然数集合N的每个子集一一对应起来。我们不列出每个子集的元素，而是用Yes或No标明某个元素是否在该子集中。对这种对应关系的描述见图4.7。
图4.7 N与（N）之间的一种假设对应关系及其对角线
让我们来看看其中的一些子集。与数字1对应的子集包括0，不包括1，包括2，包括5，等等。所以这个子集是
{0,2,5,…}
与数字7对应的子集是
{1,5,7,8,…}。
这种对应关系不可能包含N的所有子集。通过观察这条对角线，我们就能找到一个不在这张清单上的子集。让我们看看这条对角线的反面是什么，如图4.8所示。
图4.8 不存在于假设对应关系中的N的子集
子集D
●不包含0，因为与数字0对应的子集包含0；
●包含1，因为与数字1对应的子集不包含1；
●不包含2，因为与数字2对应的子集包含2；
●不包含3，因为与数字3对应的子集包含3；
●……
●当且仅当与数字d0对应的子集不包含d0时，才包含d0；
●……
我们其实是在描述这样一个自然数的子集：
D={N中的数字d：与d对应的子集不包含d}。
结论是D不和自然数集合任何元素对应。如果有人说子集D与某个数字d0对应，那就来看看d0是否在D中。
当且仅当d0不在与d0对应的子集中时，d0才在D中。
也就是说，
当且仅当d0不在D中时，d0才在D中。
矛盾出现了。我们的结论是子集D不同于和数字d0对应的子集。实际上也就是说，D不同于假设对应关系中的任何子集。因此，我们提出的对应关系遗漏了至少一个子集。
在这个证明中，自然数其实并没有起到很重要的作用。我们可以对这个证明进行广义的归纳并指出，对于任何集合S，S的幂集都无法与S形成一一对应的关系。也就是说，集合的子集比集合的元素多。这与本书的自我指涉相关局限这一主题形成了绝妙的呼应。集合S的元素不能“呼应”、“描述”或“处理”与集合S的组成有关的性质。
简短的证明如下：（错误地）假想S和（S）之间存在一一对应的关系。现在思考集合
D={S中的元素d：与d对应的S的子集不包含d}。
D是S的子集，因此是（S）的一个元素，但D不与S的任何元素对应。实际上，D所说的是：
本子集不同于假设对应关系中的任何子集。
如果你（错误地）宣称S中有一个d0与D对应，那就看一看这个元素d0吧：
当且仅当d0不在D中时，d0才在D中。
矛盾出现了，于是我们可以判断D不在假想的对应关系中。所以（S）大于S。
我们已经看出（0,1）和（N）都比N大。实际上，这两个集合之间存在一一对应的关系（我将不会在本书描述），说明它们拥有相等的势。由于大小为n的集合，其幂集的势为2n，而N的势为，所以（N）的势为。因为它也是连续区间（0,1）的势，所以它又称“连续统的势”（cardinality of the continuum）。
为什么我们要局限于（0,1）呢？为什么不考虑整个实数集R呢？整个实数集看上去似乎比（0,1）大得多。毕竟，实数还包括区间（1,2）和（2,3）。不要忘记负数区间如（–23，–18）。实数集合包含无数多个（0,1）的拷贝。然而根据我们对两个集合大小相等的定义，我们可以证明（0,1）等势于R。该证明的正式名称是球面投影证明（proof by stereographic projection），但我更喜欢的名字是更加亲切的阳光证明（sunshine proof）。该证明基本如图4.9所示。
图4.9 （0,1）和R之间的对应关系
首先假设有一个明亮的太阳位于画面上方。然后将区间（0,1）放置在太阳下方并弯曲起来。接下来将代表集合R的实数线放置在画面底部。需要意识到，这条实线是向左右两边无限延伸的。对（0,1）和R之间一一对应关系的描述如下：对于（0,1）中的每一点x，都可以画一条直线令其穿过太阳和x，而且该直线会与R相交于一点。这条直线与R的交点与x对应，并表示为X。想要看出这是一种充分的对应关系，我们只需要意识到，（0,1）中两个不同的点y和y′将会对应R中两个不同的点y和y′。想要证明R中的每个点z都存在于这种对应关系中，只需要用直线将R中的z点与太阳连接起来。这条线将会穿过（0,1）中某个独一无二的点。总之，（0,1）和R之间存在一一对应的关系，因此它们是等势的。
我们已经指出，实际上有两种方法可以证明某无限集合的势大于א0。首先，可以用对角线的论证方式指出该集合无法与自然数形成一一对应的关系。其次，我们可以指出该集合和另一个已知其势大于א0的集合存在一一对应的关系。
我们已经描述了几个其势等于的无限集合。我们还见到了几个势等于的集合。呼之欲出的问题是，是否存在势大于的无限集合。答案是存在。集合的幂集一定比该集合大。因此我们可以知道，（0,1）的幂集——表示为P（0,1）——不可能和（0,1）对应。也就是说，单位区间（0,1）的子集的集合比（0,1）大。这个集合的势是（）。这样一个集合是很难想象的一种事物。不妨试试将它的一些元素写下来。
当然，我们没有止步于此的理由。我们可以继续用幂集的方式描述出势更高的集合。这些位于无限的不同层次的集合彼此不可能形成一一对应的关系。
集合（0,1）不应该被当成数字0和1构成的有序对。它表示的是数字0和数字1之间的所有实数构成的区间。
康托尔在寄给自己的朋友理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831—1916）的一封信中宣布了这个极其重大的结果。这封信的署名日期是1873年12月7日，这个日期可以被视为现代集合论的起点。
在第2章第3节中，我陈述了与描述数字的英语短语有关的理查德悖论。现在我们应该清楚地看到，理查德悖论同样使用了这种对角证明的方法。
“发明”数学定理，还是“发现”数学定理
前面三节描述的集合论概念都是完全合理和理性的。不幸的是，在它们之中隐藏着一个小小的致命缺陷：就目前我们所呈现的内容来看，集合论是不一致的。这意味着我们可以使用我们之前使用的集合论的语言推导出矛盾。首先指出这一点的人是伯特兰·罗素。1902年6月16日，罗素在写给戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925）的一封信中首次描述了基础集合论中的一个简明扼要的矛盾。这个矛盾被称为罗素悖论。虽然我们已经在第2章第2节中见过这个悖论，但是我们值得回顾一下它的内容。
很多集合都可以拿来讨论。思考集合
H={a,b,{c,d}}，
该集合包含3个元素。其中两个元素是字母a和b，另一个元素是集合{c,d}。现在思考集合
J={a,b,J}，
该集合也包含3个元素，但其中一个元素是它自身！现在思考下列集合，我们用罗素的姓名首字母称其为R：
R=不包含自身的所有集合的集合。
所以上面的集合H是R的元素，但上面的集合J不是R的元素。现在思考下面这个简单的问题：
R是它自身的元素吗？
如果R是R的元素，那么根据对成为R的元素的要求，R必然不是其本身的一个元素。相反，如果R不是它本身的元素，那么它满足进入R的条件，所以R应当包含在R当中。于是我们就有了矛盾，所以我们的结论是，我们此前描述的朴素集合论是不一致的。这对当时的研究者是个重大打击。体系内的矛盾会让该体系变得毫无价值。
这是个悖论。我们做出了假设并推导出矛盾。我们做出的这个不易察觉的假设是，对于每一种描述，都存在符合这种描述的元素组成的集合。这适用于大多数情况，但不能适用于全部情况。例如，如果我想到了红色这种性质，我就可以构建一个由所有红色物体组成的集合。有了粉色凯迪拉克这个描述，就能有粉色凯迪拉克这个集合。但是“不包含自身”这个描述无法对应一个由不包含自身的物体构成的集合。这会导致矛盾。我们必须小心谨慎。
为了避免像罗素悖论这样的矛盾，研究者们试图对集合论的某些观念进行正式修整，对哪些类型的集合能够存在进行限制。要达到这个目的，首先需要发展出由不证自明的公理构成的公理体系，然后用这些公理推理出关于集合的定理。
埃尔恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo，1871—1956）和亚伯拉罕·弗兰克尔（Abraham Fraenkel，1891—1965）就开发了这样一套公理体系。该体系后来被称为策梅洛–弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory），是该领域最重要的公理体系。策梅洛–弗兰克尔集合论的公理如下：
1.外延公理（axiom of extensionality）如果两个集合拥有相同的元素，这两个集合就是相同的。
2.配对公理（axiom of pairing）对于任意x和y，都存在集合{x,y}。
3.子集选择公理［axiom of subset selection，又称包含限制公理（axiom of restricted comprehension）］如果X是一个集合，φ是描述X中元素的一种性质，那么X的子集Y若要存在，只能包括X中满足这种性质的元素X，即，
Y={x在x中|φ（x）为真}。
（这几乎是在说，如果你有一种性质，比如说“红色”，那么你就有一个由所有红色物体组成的集合。然而我们需要限制这个公理，否则只要看看“不包含自身”这个性质，就会产生罗素悖论那样的麻烦。我们不能谈论“所有一切”的子集。我们只能谈论某个对象的子集。所以对于某种性质φ，我们不能说
Y={x |φ（x）为真}
是一个集合。相反，我们必须将这个性质局限于某特定集合X。）
4.并集公理（axiom of union）若干集合的合并集合是一个集合。
5.幂集公理（axiom of powerset）对于任何集合X，X的幂集也是一个集合。
6.无穷性公理（axiom of infinit）元素数量无穷多的集合是存在的。
7.替换公理（axiom of replacement）如果F是一个函数（将一个集合中的元素在另一集合中赋值的方式）且X是一个集合，那么F（X），即F的值的集合，也是一个集合
F（X）={F（x）|x在X中}。
8.正则公理（axiom of regularity，又称 axiom of foundation，基础公理）集合不存在无限回归，即一个集合只包含一个集合，后者又只包含一个集合，后者还是只包含一个集合……用专业术语来说，每个非空集合X都包含一个元素Y，令X和Y不是同一个集合。
在此必须提出一个有趣的哲学问题。策梅洛–弗兰克尔集合论认为某些特定的集合是不合法的，不允许我们讨论或接受它们。我们只能将某些特定的合集当作集合，不允许将其他合集当作集合。这是否意味着其他合集不存在呢？它们不是集合了吗？没错，避开矛盾是好的，我们也喜欢这样没有错误的体系，但是我们对事物的真实存在还持有真诚的态度吗？我们是不是将婴儿和洗澡水一起倒掉了呢？
关于策梅洛–弗兰克尔集合论，令人赞叹的事实是，现代数学的绝大部分都可以用集合和这些简单的公理推导出来。在一部规模浩大的数学百科全书中，我们会找到下列观察报告：“现如今，从逻辑学的角度看，目前的数学几乎全部源自这样一个单一来源：集合论。”换句话说，数学的大多数内容都可以看作是建立在这些公理的基础上。目前活跃的大部分数学家通常不会思考这些公理，他们也不关心自己的工作是否能置于策梅洛–弗兰克尔集合论的语境之下。然而只要付出足够的努力，就能用策梅洛–弗兰克尔集合论的语言陈述他们的工作。从它们这样重要的地位来看，策梅洛–弗兰克尔集合论的公理可以被看作是所有数学的公理，因此也正是理性本身的公理。
显而易见的问题是，策梅洛–弗兰克尔集合论是否前后一致？毕竟，在集合论中应用公理的原因之一就是确保我们避开像罗素悖论那样的问题和其他矛盾。如果能够知道从这些公理中推导不出矛盾，那就太令人欣慰了。在一致性方面，有好消息也有坏消息。好消息是策梅洛–弗兰克尔集合论已经出现了大约一个世纪，目前还没有人推导出任何矛盾。将来似乎也没有人能推导出矛盾。坏消息是，著名的哥德尔不完备定理（我们将在第9章第4节和第5节中详细介绍该定理）的推论之一就是策梅洛–弗兰克尔集合论的一致性无法在普通数学中证明。因此我们不能完全确定策梅洛–弗兰克尔集合论以及以它为基础的所有现代数学是一致的。
让我们看看使用策梅洛–弗兰克尔集合论能够证明什么，不能证明什么。在本章第2节中，我们指出有很多集合与自然数集合N等势。在第3节中，我们指出有许多集合与集合（0，1）等势，而且这些集合严格意义上比N大。一个显而易见的问题出现了：是否存在大小介于N和（0,1）之间的集合？也就是说，是否存在某个无限集合S，令N严格意义上小于S，而S严格意义上小于（0,1）？我们真正要问的是，是否存在任何介于א0和2א0之间的东西？这是一个非常简洁的问题。我们只想知道是否存在某个大小特定的集合。我们甚至不关心这个集合的元素是什么。我们唯一在乎的是这个集合的大小。康托尔在19世纪80年代首次提出了这个问题。他相信这个问题的答案是“否”，并提出了下面这个“连续统假设”（continuum hypothesis）：
不存在大小严格位于N和（0,1）之间的集合。
尽管付出了许多努力，康托尔也没能证明这个猜测。1900年，大卫·希尔伯特发表了一场著名的演讲，并在演讲中列出了20世纪面临的23个有待解决的难题。连续统假设是第一个。
1940年，库尔特·哥德尔（1906—1978）证明了（假设策梅洛–弗兰克尔集合论是一致的）连续统假设与策梅洛–弗兰克尔集合论的公理相容。这意味着再增加一条声称连续统假设为真的公理，也无法从策梅洛–弗兰克尔集合论的公理中推导出矛盾。换种说法，存在某种对这些公理的理解方式，令连续统假设为真，即不存在中间大小的集合。
1963年，曾在布鲁克林学院学习的保罗·科恩（Paul Cohen，1934—2007）对这个已有80年历史的问题给出了最终答案。他证明了（假设策梅洛–弗兰克尔集合论是一致的）连续统假设的反面与策梅洛–弗兰克尔集合论的公理相容。这意味着再增加一条声称连续统假设为假的公理，也无法从策梅洛–弗兰克尔集合论的公理中推导出矛盾。换种说法，存在某种对这些公理的理解方式，令连续统假设为假，的确存在大小严格位于N和（0,1）之间的集合。
哥德尔和科恩的结果说明，连续统假设“独立于”策梅洛–弗兰克尔集合论的公理。这意味着这些公理无法证明或推翻它。我们无法用策梅洛–弗兰克尔集合论或任何其他等价的集合论的公理体系回答这些问题。因为它独立于这些公理，我们无法询问连续统假设究竟为真或为假。真的存在一个大小位于N和（0,1）之间的集合吗？
连续统假设只是集合论中的众多令人着迷的概念之一。集合论中还有一个更有趣的观点，称为“选择公理”（axiom of choice）。让我们先用有限集合举一个简单的例子。思考由所有美国公民构成的集合。他们可以分成50个彼此不重叠的子集，因为人们生活在50个不同的州。我们可能会想组成这样一个集合，它拥有这50个子集中每个子集的正好一个元素或代表。构成此集合最简单的方式是将各州州长选作该州的代表。我们还可以选择该州的资深参议员或年纪最大的人。我们可以有许多不同的选择。然而，如果我们要是从某个无限集合中选出一部分呢？我们还能像这样从每个子集中选择一个元素吗？对于无限集合，事情似乎有一点复杂。想象一下，我们面前有一个由无数双鞋子组成的无限集合。（对于某些人来说，这将导致无限的喜悦。）我们可能需要从无数双鞋子中的每一双挑选一只鞋子。这很容易做到，总是选择每双鞋子中左脚的鞋子就可以了。当然你还可以选择右脚的鞋子。然而，如果摆在我们面前的是无限多双圆筒短袜，而且每一只袜子和它的搭档完全一样呢？我们还能从每双袜子中选择一只吗？哪一只呢？没有任何方法能够描述这种函数。我们会说这样的选择是不可能的。我们将会看到，如果假设这样的选择总是可以做到，就会导致问题出现。
选择公理认为，对于任意集合和该集合以任意方式划分而成的非重叠子集，总是可以用每个子集中的一个元素组成一个集合。这似乎是个相当无关痛痒的要求。对于有限集合，选择公理显然是成立的，但是对于无限集合而言，就稍微有些麻烦了。这样的集合总是可以组成的，这不是很明显吗？为什么我们不能组成这样的集合呢？在1963年，保罗·科恩指出不仅连续统假设独立于策梅洛–弗兰克尔集合论，就连选择公理也独立于这些公理。也就是说，我们无法用策梅洛–弗兰克尔集合论证明它是对的或错的。
很多数学家认为选择公理足够“不证自明”，应该增添到策梅洛–弗兰克尔集合论的公理中，成为集合论和数学的基础。他们将这种新的公理体系称为带有选择公理的策梅洛–弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory with choice，简称ZFC）。它是所有数学领域中最流行的基础体系。而其他数学家更为慎重，对增添选择公理表示担忧。
担忧选择公理的主要原因之一是巴拿赫–塔斯基悖论（Banach-Tarski paradox）。该悖论说，使用策梅洛–弗兰克尔集合论和选择公理（但不是仅仅使用策梅洛–弗兰克尔集合论），可以证明下列命题：给出一个任意大小的三维球体，可以将它切成5个非重叠的部分，接着拼成两个大小与原来相同的球。（见图4.10。）
图4.10 巴拿赫–塔斯基悖论
原来的球体被切成了5个部分，每个部分的形状都很不正常，它们看起来像是齐诺服用致幻剂之后干出来的事情。每一部分都能连接起来，只是看上去十分怪异。然而，这却是看上去无害的选择公理的一个可被证明的推导。该悖论的另一个版本是，一个小如豌豆的球可以切成不同部分构成的有限集合，然后拼在一起，构成一个大小和太阳一样大的球。很多人说既然该悖论是选择公理的推论，那么就是选择公理导致了明显谬误的命题，应该被认为是不合理的。他们想将选择公理从数学中废除。其他人说我们应该保留这条公理。他们会求助于齐诺悖论，因为齐诺悖论指出我们的空间观念充满了违反直觉的性质。类似地，无限性也拥有一些奇怪的令人难以理解的推论。毕竟，正如我们在本章第2节中见到的那样，一个无限集合可以和另一个看起来大小是其两倍的集合形成一一对应的关系（偶数与自然数，自然数与负整数和正整数），所以为什么一个无限可分的球不能和两个无限可分的球拥有同样的体积呢？
面对所有这些问题，我们应该怎么办呢？策梅洛–弗兰克尔集合论是否前后一致呢？连续统假设是正确的还是错误的？选择公理可接受还是不可接受？这些问题都独立于策梅洛–弗兰克尔集合论，而后者是大部分数学工作的基础。所以我们不能用数学回答这些问题。对所有这些形式简洁的问题的回答都超出了当代数学范畴，超出了理性思考，甚至或许超出了我们人类的能力。
至于如何应对这些问题，主要有两大哲学派别。其中一派是柏拉图主义者或现实主义者，他们追随柏拉图，相信在某种意义上集合真的存在，而且所有这些问题以及任何其他关于数学对象的问题，都拥有明确的答案。数学对象以及描述这些对象的数学定理都是真实的，独立于人类的思想存在。柏拉图主义者相信，世界上存在完美的理想圆形，这些圆的周长与其直径的比是π。如果世界上从未出现人类和人类对数字的思考，π也依然存在。对柏拉图主义者而言，连续统假设是否成立——是否真的存在大小位于N和（0,1）之间的集合——是一件要么为真要么为假的事情，人类必须努力回答这个问题。既然眼下的公理无法回答这个问题，我们必须寻找能够一劳永逸地解决这个问题的更多或不同的公理。这些公理应该是不证自明的，不会导致矛盾，而且不会让我们得到违反直觉的推论。
与这种思想流派相反，位于另一个极端的人有时被称为唯名论者、反柏拉图主义者、反现实主义者、形式主义者或虚拟主义者。从根本上说，他们不相信“外部”存在任何东西。数学对象是数学家们谈论的东西，在语言和人类思想之外没有任何容身之处。数字3和其他人类虚构的东西如米老鼠和詹姆斯·邦德一样，仅仅存在于人类的虚构之中。对于这些哲学家而言，本章提出的问题之所以没有答案，是因为这些数学对象还没有得到足够充分的描述。在一位唯名论者看来，数学对象并不真实存在，存在的只是人类的描述。关于数学对象存在一定的规则，就像关于米老鼠和邦德存在一定的规则一样。我们绝不会说米老鼠很刻薄，因为这种描述和伴随我们长大的这个虚构形象不符。类似地，我们也绝不会说邦德穿得像个邋遢鬼。当我们谈论数学对象时，它们看上去更加真实，因为关于它们存在更多规则。所以我们可以想象邦德在某一部影片中不把衬衫的下摆塞进裤子里，尽管这不大可能，但是3加2要等于6却是绝对无法想象的。回到我们关于连续统假设的问题：唯名论者会说集合的语言还没有得到足够充分的描述，因此无法对这样中间大小集合的存在与否做出判断。为什么要寻找新的公理来让连续统假设为真或为假呢？世上并不存在我们的真理必须遵守的外部真实性。相反，两个体系我们都该研究：我们应该研究连续统假设为真时的策梅洛–弗兰克尔集合论，也应该研究连续统假设为假时的策梅洛–弗兰克尔集合论。两个体系都值得研究。我们有自主性，为什么不将它利用起来呢！
这两个哲学派别的一些冲突可以概括成对下面这个简单问题的答案：数学定理是被“发现”还是被“发明”的？柏拉图主义者坚持认为自己研究的数学定理和对象一直存在而且将会永远存在。在他们看来，是数学家发现了一直存在的东西。相比之下，唯名论者会说是数学家发明了一条新的定理。这条定理必须遵循关于某些数学对象的其余已知知识，但这位数学家只不过是增添了一条虚构的文献。非正式调查表明，大部分数学家实际上是柏拉图主义者，他们在工作的时候认为自己是在“发现”。
然而由于这是个哲学问题而非数学问题，或许他们的答案不应被视作是权威性的。无限集合存在吗？数字3存在吗？我从没见过一个无限集合，也没有用我的大脚趾踢到过数字3。我们可以谈论无限集合，但我也可以谈论独角兽和匹诺曹。我还可以讲述一个关于小红帽的故事，这个故事可以很长、符合逻辑，听上去非常可信，尽管小红帽根本不存在于人类思维之外的任何地方。我们是否可以宣称自然数集合以及它看似非常真实的结构也同样是不存在的？0,1,2,3,…这个序列是否只是语言和文化的发明？或许我们被“存在”这个词的许多可能的意思给弄糊涂了？很难想象这些看起来平淡无奇的关于自然数的观念只不过是语言的一部分，在某种意义上并不真正存在。然而，语言以及掌控我们使用语言的文化，似乎足以解释我们如何使用数字。
柏拉图主义者最强有力的论据是数学令人惊叹的一致性。数千年来，彼此隔绝的数学家们努力工作，产生了类似且不含矛盾的观念。想要做到这一点，唯一可能的情况似乎就是他们全都在试图描述某种存在于他们思维之外的东西。
唯名论者最强有力的论据是像下面这样的问题：谁建立了这些柏拉图理念？它们为什么会在那里？在过去的几百年里，科学家们通过消除形而上学的假设取得了巨大的进展。为什么要在数学和集合论中保留任何这样的形而上学呢？在反驳柏拉图主义者的证据时，唯名论者会说这些数学家并不完全是彼此隔绝的。在他们各自孤独地走进用来写作的阁楼间之前，他们已经充分意识到成为一名好的数学家必须遵守的规则。他们知道，如果他们写出任何会导致矛盾的东西，他们就会失去数学家的身份。他们不是孤立的，因为他们事先都知道自己使用的语言。
同时困扰两个阵营的问题是，数学和集合论在自然科学中不可思议的适用性。为什么物质世界与数学家和集合论学家的思想如此相符呢？柏拉图主义者说柏拉图式的理念世界和我们的物质世界之间存在某种（神秘的）联系。他们还认为柏拉图的理念世界和我们的思维之间也存在某种（神秘的）联系，让我们可以发现这些柏拉图理念。相比之下，唯名论者说数学适用性出色的原因在于，数学是人类的一种语言，这种语言的形成利用了从物质世界感受到的直觉。在他们看来，通过观察物质世界开发出来的体系与物质世界相匹配，这并不令人感到惊讶。
不要认为你可以轻易地在这两个阵营中做出“正确的”选择。得到连续统假设独立性这一结果的两位数学巨人支持不同的结论。哥德尔觉得我们必须找到新的公理，从而以某种方式掌握符合柏拉图理念的集合世界。相比之下，科恩觉得连续统假设没有真正的答案。
这场争论已经持续了千年之久，仍然没有明显的胜利者。在我看来，柏拉图主义者给出的任何论据都可以被唯名论者回答得更好。然而我也意识到，我们这些肉眼凡胎的人类将永远不会得到任何确切的结论。
除了策梅洛–弗兰克尔集合论之外，还有其他很多公理体系，但其中大多数都和策梅洛–弗兰克尔集合论一样强大。这意味着无论使用策梅洛–弗兰克尔集合论能够证明什么，使用其他体系也能证明，反之亦然。因此我将只讨论策梅洛–弗兰克尔集合论。
尼古拉斯·布尔巴基（Nicholas Bourbaki），法语原文“Aujord’hui qu’il est possible,logiquement parlant,de faire deriver toute la mathématique actuelle d’une source unique,la Théorie des Ensembles” ［《集合论》（Théorie des ensemble），1954，巴黎，4］。
20世纪首屈一指的数论学家安德烈·韦依（André Weil）总结得很妙：“上帝是存在的，因为数学是一致的；魔鬼是存在的，因为我们不能证明这一点。”
我将忽略华盛顿特区和所有其他特殊情况，便于对这个问题进行理性思考。
需要注意的是，一个球上所有无穷小的理想点可以很轻松地和两个球上所有无穷小的理想点形成一一对应的关系，就像自然数可以和正整数、负整数的集合形成对应关系一样。然而，如果这个球是原子构成的，这样的对应就不能存在了。任何球都只包含有限数量个原子，而有限数量不可能与自身的两倍形成一一对应的关系。就像面对齐诺悖论时一样，我们必须问问自己，将（拥有无限观念的）数学用作真实世界的模型是否可行。
其实它们包括很多不同的思想流派，我将它们全部归为一类是略显不公的。有一些大部头的著作维护唯名论的x类型，攻击唯名论的y类型，等等。不过所有这些不同的思想流派都不喜欢抽象本质的概念。
实际上这已经在几何学中实现了。我们将在第8章第2节中看到，欧几里得第五公理独立于其他九条公理。数学家没有受限于其中一套公理体系，而是同时研究了两种。他们研究了假设第五公理为真的九条公理，得到了欧几里得几何学；与此同时，他们还研究了假设第五公理为假的九条公理，得到了非欧几里得几何学。这仍然给我们留下了一些开放性问题。在几何学中，这两套体系对应不同的背景。欧几里得几何学是平面的几何学。非欧几里得几何学描述的是弯曲和扭曲的面。在集合论中如何进行这样的类比呢？带有选择公理的体系对应什么？不带选择公理的体系对应什么？毕竟这是集合论，我们在这里讨论的是对象的集合。对象的集合之间如何会存在变异性呢？对于我们的所有问题，另一种可能的解决方案是后退一步，抛弃所有公理体系。毕竟康托尔在完成自己的丰功伟绩时也没有使用公理。然而没有公理的话，我们可能就要重新产生悖论和矛盾了。关于这一点的更多内容见第9章第5节。
我们将在第8章中更深入地讨论这些问题。
我在因特网上找到了对保罗·科恩这句话的引用（但不能为这句话找到来源）：“对于连续统假设而言，集合的概念过于模糊，无法产生肯定或否定的答案。”这句话的意思是，我们无法得到关于连续统假设的答案，是因为集合的概念没有得到充分的