早在现代科学家研究认知的局限之前，哲学家就已经在分析这个世界的复杂性以及我们对它的认识了，他们甚至开始偏执地怀疑“客观”是否真实存在。
此外，虽然这些意见似乎在辩证的讨论中是符合逻辑的，但是考虑到事实，要是相信它们，好像离发疯也就只有一步之遥了。实际上，就算是疯子也不会如此偏离常识。
——亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322年），《论生成与毁灭》（On Generation And Corruption，325a15）
所有人都是疯子，但能够分析自己的妄想的人被称为哲学家。
——安布罗斯·比尔斯（Ambrose Bierce），
《安布罗斯·比尔斯全集》（The Collected Works of Ambrose Bierce）
这取决于“是”这个词语的意思是什么。
——威廉·杰弗逊·克林顿（William Jefferson Clinton）
早在现代科学家开始着手研究理性的局限之前，哲学家们就已经在分析我们这个世界的复杂性以及我们对它的认识了。在这一章，我将探索古代和当代哲学对理性局限的一些认知。
在本章第1节中，我先要讨论一些重大问题，这些问题涉及物体的具体性和抽象性以及我们定义它们的方式。在第2节中，我们会使用齐诺的一些悖论分析空间、时间和运动的本质。在这一节的最后，我们将简短地讨论时间旅行悖论。第3节的主题是模糊性。第4节关注的是知道并拥有信息这一观念。这些章节彼此独立，并独立于本书的其他章节，可以按照任意顺序阅读。
当我们在讨论“人”时，我们在讨论什么？
在古希腊，有一位传说中的国王名叫忒修斯（Theseus），据说他建立了雅典这座城市。由于他曾在多场海战中战斗，雅典人决定在港口中保留他的战船，作为对他的纪念。这艘“忒修斯之船”在那里停泊了数百年。随着时间的流逝，忒修斯之船的一些木板开始腐烂。为了保持这艘船的良好状况和完整性，人们用材料相同的新木板将腐烂的木板换下。下面是关键性问题：如果更换了一块木板，它仍然是同一艘忒修斯之船吗？关于一艘传说之船的这个问题是所有哲学领域中最有趣的问题之一，即同一性问题（problem of identity）。物理对象是什么？为什么即使事物发生了变化，仍然被认为是和从前一样的？某件物体达到哪个临界点时才会变得不同？当我们谈论某件物体并说“它变了”的时候，“它”到底是什么？
要是你更换了这艘船的两块木板呢？这样做会比只更换一块木板让它更不像最初的船吗？如果这艘船是由100块木板建造的，其中49块被更换了呢？被更换的木板数量是51块呢？更换100块木板中的99块呢？最底部的那一块木板足以维持这艘船最初的神圣地位吗？如果所有木板都被更换了呢？如果这种变化是渐进式的，这艘船是否仍然维持着作为忒修斯之船的神圣地位？这种变化必须达到至少怎样的渐进程度呢？
我们无法回答这些问题，因为不存在客观上的正确答案。有人说更换一块木板就改变了这艘船，让它不再是忒修斯之船。另外一些人说只要它还有至少一块最初的木板，它就是最初的那艘船。最后还有人声称，变化后的船总是和原来的船相同，因为它拥有最初的船的样式。这些不同的立场都没有错。不过也没有理由说其中任何一种立场是正确的。
让我们针对这艘饱受争议的船继续发问。如果我们将古老的木板换成更加现代的塑料板呢？那么，随着我们更换越来越多的板子，这艘船的材料将与最初不同。如果换板子的人在安装新板子的时候出了错，让船呈现出稍微不同的样式呢？还有一个问题：为这艘船更换木板的人选重要吗，也就是说，执行这一任务的必须是某一群或另一群工人吗？如果这艘船要被保存数百年之久的话，那么无疑需要许多不同的人来更换它的板子。如果我们对这艘船做出了如此多的改变，以至它再也无法扬帆出海了呢？如果它不能行使最初的功能，我们还能称其为威武的忒修斯之船吗？
诸如此类的问题层出不穷。我将控制住自己，只再多讨论一种情况。假设每次更换一块木板时，我们不将旧板子扔进废料堆，而是放进仓库储藏起来。经过一段时间后，所有旧木板组装成了一艘船。这艘新船完全按照老船的样子建造，而且每块木板都位于自己原本的位置。问：哪艘船有权自称忒修斯之船，用新板子更替而成的船还是用旧板子建造出来的船？
针对这些问题中的部分问题，一个常见的答案是船还是原来的船，因为改变是渐进的。然而我们却不清楚为什么渐进式的改变有什么不一样。如果想让这艘船维持它最初的身份，那么这种渐进程度应该是怎样的呢？对于改变的发生而言，存在某个最小速度吗？如果要考虑什么是“渐进”这个问题，不妨思考华盛顿的斧子这个案例。某座博物馆想要保存美国国父的这把斧子，它由两个部件组成：斧柄和斧头。随着时间的流逝，木质斧柄将会腐烂，而金属斧头将会生锈。博物馆会在必要的时候更换这两个部件的任意一个。时光荏苒，斧头被更换了4次，而斧柄被更换了3次。它还是华盛顿的斧子吗？注意这里没有变化是渐进的这个问题。每次发生变化时，斧子的一半被替换了。
我们的讨论不仅限于船和斧子。一棵树在夏天苍翠葱茏，到了冬天就只剩下光秃秃的棕色树皮。山峰的高度会有起伏变化。汽车和计算机都会得到整修翻新。任何物体都会随着时间发生变化。赫拉克利特（Heraclitus）有一个著名的论断，你不能两次踏进同一条河流。对赫拉克利特而言，河流每个瞬间都在变化。
变化的不仅仅是物体。商业、机构和组织也是不断变化和演变的动态实体。巴林银行（Barings Bank）存在于1762年至1995年。在这段时间里，老板、雇员和顾客全都发生了改变。布鲁克林道奇队（Brooklyn Dodgers）成立的时间是1883年。它的选手、经理、老板和球迷无疑都发生了改变。对于一支棒球队而言，保持不变的是什么？在无情地背叛自己诞生的城市之后，道奇队甚至无法声称自己还在最初的那座城市打球。在大学里，学生们每四年换一拨，即使是教授们也会随着岁月的流逝而更迭。大学唯一真正的心脏和灵魂是亲爱的秘书们。但是，哎，连他们也会更换。政党也不能免于变化。民主党成立于18世纪90年代，最初致力于支持州权与联邦政府的权力抗衡，这和民主党现在的政治立场正好相反。所有东西都在变化！
我们不只是在讨论变化。当然，我们讨论的是一件物体之所以是这件物体，到底意味着什么。某个机构之所以是这个机构，又意味着什么？当我们说某件物体变化的时候，我们的意思是它此前拥有某种性质，变化发生之后，它不再拥有这种性质了。一开始，忒修斯之船拥有忒修斯本人曾触摸过的木板。到最后，所有木板都是他未曾触摸过的。这是这艘船性质上的变化。我们的根本问题是：忒修斯之船的核心性质是什么？我们已经指出，这个问题没有清晰的答案。
当我们停止谈论古代船只，开始谈论人类时，这场讨论就变得有趣多了。每个人都随着时间变化发生改变。我们会从嗷嗷待哺的婴儿成长为脚步蹒跚的老人。一个3岁的幼童与多年后83岁的自己之间有什么共同的性质呢？这些哲学问题被称为人格同一性问题。是什么性质构成了一个特定的人？我们都不是几年前的那个人了。然而，我们仍然被当成同一个人。
哲学家们通常在这个问题上分成几大阵营。某些思想家推广的观念是，人本质上是自己的身体。我们每个人都有不同的身体，因此可以说每个人的身份都是根据自己的身体确定的。如果假设人就是自己的身体，我们就会面临忒修斯之船以及其他物体面临的同一个无法解决的问题。我们的身体处于不断的变迁当中。老细胞死亡，新的细胞不断诞生。实际上，我们身体的大部分细胞每7年就更换一次。这就导致了哲学家们千百年来提出的千百个问题。一个人在7年之后为什么还要被关押在监狱里呢？毕竟犯罪的并不是“他”，是另外一个人。一个人7年之后应该拥有任何东西吗？东西是之前那个人买的。一个人截肢之后为什么和之前还是同一个人呢？科幻小说作家非常善于讨论克隆、精神转移、同卵双胞胎、连体双胞胎和其他有趣的主题，这些主题都与这种认为人等同于自己身体的观念相关。当一只阿米巴原虫分裂的时候，哪一只是原来的那只，哪一只又是它的后代呢？当你的身体失去细胞的时候，就是在失去构成物质的原子。这些原子此后可以属于其他人。类似地，其他人的原子也可以成为你身体的一部分。我们又该如何对待死亡呢？我们通常认为人的死亡即其存在的结束，虽然他的身体仍然在那里。有时候我们会说“她埋在那儿”，好像“她”仍然是个世间的人。有时候我们说“他的身体埋在那儿”，好像“他”和他的身体之间存在区别。简而言之，人等同于自己的身体这种说法是有问题的。
其他思想家认为人实际上是他们的精神状态或心智。毕竟，人不仅仅是自己的身体。一个人不仅仅是一件物体，因为他有思想。在持有这种观点的哲学家看来，人是一股连续不断的意识流——他们是记忆、意图、想法和欲望。这将导致我们提出其他一些难以回答的问题：如果一个人得了失忆症呢？他还是同一个人吗？一个人的个性难道不会随着时间变化吗？哪个人才是真正的你：疯狂地爱上某人的你，还是两个月后对同一个人心生厌倦的你？针对一个人的想法、记忆和欲望的变化，我们可以提出成百上千个问题。同样地，哲学家和科幻小说作家也非常善于描述许多有趣的情形，挑战我们将人类等同于精神状态连续意识流的观念。这些情形涉及阿尔茨海默病、失忆症、人格改变、裂脑试验、多重人格障碍、计算机思维等。思想和身体的对立也存在着很多问题。思想——人类的决定性特征——在多大程度上独立于作为身体一部分的大脑呢？
连续性的精神状态决定了人的身份，这一观念面临的更有趣的挑战之一是身份同一性的传递性问题（transitivity of identity）。我的精神状态基本上和10年前相同。这意味着我现在是自己10年前所是的那个人。此外，我10年前的精神状态和再往前推10年的精神状态基本相同。因此我10年前所是的那个人等同于我20年前所是的那个人。然而，目前我的精神状态和20年前我的精神状态并不相似。那么既然我与20年前的自己并不相同，我又怎么等同于10年前的我，10年前的我又怎么等同于20年前的我呢？
还存在另外一个解释：每个人都有一个独一无二的灵魂，这个灵魂定义了他们是谁。让我们暂且回避对灵魂的定义或存在的质疑，先关注一下这个解释如何回答我们对人类本质的提问。假设灵魂存在，那么灵魂和身体之间是什么关系呢？灵魂与一个人的行为、心智和个性之间是什么关系呢？如果不存在这种关系，那么一个灵魂如何区别于另一个灵魂呢？如果灵魂对你的任何一部分都没有影响，你要如何区分不同的灵魂呢？灵魂的目的是什么？另一方面，如果存在这种关系，那么当身体、行为、心智或个性发生变化时，灵魂变化了吗？灵魂是处于变动中的吗？如果灵魂的确会变化，我们又回到了此前我们提出的那个问题：谁是真正的你？你是拥有变化之前的灵魂的人，还是拥有变化后的灵魂的人？
大多数人的观念很可能是上述三种意识形态的杂糅版本：人是身体、思维和灵魂的复合体。然而，所有流派的想法在某种程度上都是有问题的。
与其为本章节提出的所有问题找出答案，不如让我们思考一下，为什么这些问题全部都没有直截了当的答案，继而用这种方式来阐明道理。为什么当我们向不同的人提出这些问题时，我们会得到如此多不同的答案呢？
让我们来看看人是如何学习识别不同的物体，给出定义，并创造区别的。一开始，婴儿连续不断地感受到许多不一样的感觉和刺激。当蹒跚学步的幼童长大时，他们学习识别世间的种种物体。例如，当他们看到某个闪着银光的东西上覆盖着黏糊糊的棕色物质朝自己冲过来的时候，他们必须意识到这是勺子里的苹果酱，应该张开自己的嘴巴。学会识别银色东西上的棕色黏稠物体是苹果酱之后，他们得以更好地掌控自己的生活。人类需要对物体进行分类。我们学习如何区分物体，以及如何判定它们在什么情况下是相同的。我们通过学习知道，即使在我们看不见的情况下，一件物体也仍然存在（“物体恒存性”）。儿童经过一段时间的学习就能认出自己的母亲。几个月之后，他们还会通过学习了解到，即使她化了妆，也就是说即使她看上去有所不同，她仍然是同一个人。儿童必须要知道，即使他们的母亲喷了香水，闻起来的气味完全不同，她还是之前的那个人。在这里，蹒跚学步的幼童仿佛哲学家，学着如何应对关于人格同一性的各种问题。掌握所有这些技巧之后，儿童就将秩序和结构引入自己身处的这个复杂的世界中。在掌握这些技巧之前，他们一直接受着川流不息但无法被自己理解的刺激和感觉。拥有这些分类能力之后，儿童可以理解并开始控制自己的环境。如果他们没能掌握这种分类技巧，他们就会不堪外部刺激的重负，无法与自己周围的环境相处。
思维足够成熟之后，儿童还能学会区分抽象实体。例如，他们会知道什么是家庭。他们的母亲是家庭成员。他们的父亲和兄弟姊妹也是家庭成员的一部分。堂兄弟姊妹和表兄弟姊妹呢？远房堂兄弟姊妹和表兄弟姊妹呢？这就有点模糊了。有时候他们是家人，有时候则不是。儿童必须学会什么是家庭，什么不是家庭。随着他们年岁增长，他们还将学会区分更抽象的实体，例如数字和政党。
儿童不光是学习给物体和人分类，他们还学习叫出它们的名称。他们意识到自己和其他分类者共同生活在社会中，而为了和这些欲罢不能的分类癖进行交流，他们追随对方的做法，将名称赋予物体。他们首先给自己感受到的外部刺激起了自己才能听懂的名称。随着交流技巧的进步，他们学会抛弃自己起的名字，开始使用其他人对物体的命名。他们把黏糊糊的棕色物体叫作“苹果酱”。他们学会将照顾自己的女人称为“妈妈”，无论她化妆与否。通过使用和他人一样的名称，儿童向社会展示，他们遵从现行的分类体系，而且他们的心理过程也和别人相似。然后社会奖励他们，给他们许多的爱，提供他们需要的保护。
重点在于，分类和使用名称都是习得技巧。儿童不学习事物的确切定义，因为他们从来不会见到确切定义。他们学习的是区分和命名物理刺激。某些观念是确切而且不变的。数字4这个概念就是确切的，而且有着清晰的定义。相比之下，其他许多观念都缺少明确的定义。本节在第一部分就指出，即便是物理对象也没有界限清晰的明确定义。
记住这一点，我们就可以讨论本节开头提出的那么多问题了。更换一块板子后，忒修斯之船还是同样的船吗？恰当的回应是，我们对这艘船的定义不够清晰，无法让我们对这个问题给出答案。忒修斯之船不存在确切的定义。我们只拥有我们习得的东西——我们所了解的与这艘船相关的刺激。
忒修斯之船并不真正作为忒修斯之船而存在。不存在确切的定义描述忒修斯之船这些字眼意味着什么。它的存在形式是一系列感觉而非一件物体。没错，如果你用脚踢它，你的脚趾会疼。当你看着它时，你会看见棕色的木头。如果你舔舔它，你将感受到陈旧的木头和咸咸的海水。但这些都只是感觉，我们将这些感觉与我们称为“忒修斯之船”的物体联系在一起。人类将这些感觉组合起来，形成了忒修斯之船。当然，这艘船是由众多原子构成而存在的。但它是用作为原子的原子构成的。这些原子并没有被贴上标签，说它们是这艘船的原子。相反，是我们将这些原子建造成了一个叫作船的实体。是我们认为这艘船属于神话传说中的将军忒修斯。本节在第一部分引用了很多例子，说明这艘船在损失并更换大量原子的情况下仍然可以是同一艘船。一切都存在于我们的思想之中。我们幸运地生活在与我们相同的他人之间，相同之处在于大家给普遍发生的外部刺激赋予了相同的名字。我们每个人都将这些相似的刺激称为“忒修斯之船”。由于我们一致同意这种命名规范，我们才没有将彼此送到精神病院。然而，忒修斯之船的存在是一种幻觉。
有时候，我们会学到一些确切的定义，然后我们就能回答基于这个定义的所有问题。例如，我们学到开车的速度超过每小时65英里就是超速。所以如果有人开车的时速是67英里，他就是在超速；如果他的速度是每小时64英里，他就没有超速。我们对此十分清楚。然而对大多数物体而言，并不存在客观定义。
美学问题很容易引发类似的讨论。大多数人都会同意，在关于审美的问题上不存在正确答案。一个人眼中的美在另一个人眼中可能丑陋不堪。当代艺术鉴赏家愿意花数百万美元购买文森特·凡·高（Vincent van Gogh）的任何一幅作品。在凡·高本人的一生中，他是被忽视的，他的画连很少的钱都卖不了。哪一代人对凡·高的作品拥有正确的意见呢？这个问题没有答案，因为世界上不存在客观的美学。这完全关乎审美。类似地，更换船上的一块板子是否改变了这艘船，这个问题也没有确定的答案，因为世界上不存在这样一艘客观的忒修斯之船。
当然可以很轻易地对上述观点进行辩驳，声称物体其实存在于人的思维之外，儿童学习的内容就是对这些实体进行分类和命名。他们学习的是将各个实体的名称与物理刺激一一对应起来。放置在雅典港口并且看起来像是一艘船的一堆老化腐朽的木头应该与“忒修斯之船”对应。这种意识形态可以称作极端柏拉图主义（extreme Platonism，见图3.1）。经典柏拉图主义认为抽象实体真实存在于人类思维之外。数字3真实存在。当有人提到美国政府时，存在一个确切的概念。一把椅子的概念是存在的。然而，经典柏拉图主义却否认具体物体的存在。相比之下，极端柏拉图主义则认为即使是具体物体也拥有与之关联的某种不变的纯精神的本质。对于某个站在这个立场的人而言，“忒修斯之船的本性”存在某种纯精神的观念，在面临一个与忒修斯之船的变化有关的问题时，唯一应该做的是通过某种方式连接到这种纯精神的观念，看一看改变后的船是否仍然满足这一定义。极端柏拉图主义需要相当高阶的形而上学，而我们无法真正判断作为形而上学的它是真的还是假的。指出这样的抽象实体不存在是不可能的任务。然而，和所有形而上学观念一样，没有真正的理由去假设这样一种存在。如果你声称某一物体的名称或定义是该物体的某种“标签”，那么我们可以问问这个标签在哪里。为什么人们对忒修斯之船上的标签产生了这么多不一致的意见呢？
图3.1 不同的哲学思想流派
在这一章，我要推广一种观念，它可以称作极端唯名论（extreme nominalism）。经典唯名论的哲学立场是抽象实体并不真正存在于人类思维之外。对于一个唯名论者而言，抽象概念如数字3、美国政府的概念，以及一把椅子或“椅子性”的概念并不真正存在于讨论这些概念的人的思维之外。你可曾见过3？你能用自己的脚趾踢到一个3吗？你能用手指出美国政府吗？一个经典唯名论者会说这些实体只存在于人类的思维之中。由于我们拥有类似的教育和社会结构，我们才能针对这些不同的名字和概念与邻居开一开无伤大雅的玩笑。然而经典唯名论者并不质疑具体的物理对象的存在。
极端唯名论又将唯名论向前推进了一步。这种观念认为即使具体物体作为这些具体物体的存在也只是表现在名称中。它们在人类的思维之外不拥有外在的存在。一把特定的椅子之所以是一把椅子，是因为我们叫它椅子，而不是因为它拥有作为椅子的性质。忒修斯之船就是人们所称的忒修斯之船，无论被人们称为忒修斯之船的是什么。忒修斯之船没有确定的、一致同意的定义。我认为极端唯名论是正确的，因为针对某一特定物体的构成成分这一问题，分歧实在是太大了。如果真的有确切的定义，按道理人们应该知道这些定义。相信（极端）唯名论的另一个理由是任何形式的柏拉图主义都需要复杂得毫无必要的形而上学。我们为什么需要给每一件具体物体都赋予一个抽象本质或“标签”的存在呢？这样的抽象本质毫无用途。
从极端唯名论者的观点来看，我们无法回答忒修斯之船或人的变化的相关问题的原因就变得很清楚了，这和语言的限制并没有关系。并不是因为我们缺乏正确的词汇或者对这些概念的定义。也不存在认识论上的问题，也就是说，并不是因为缺乏对真正的忒修斯之船的确切定义的知识，我们才无法回答。这个问题同样也不是因为忒修斯之船存在某种超越其物理刺激之外的更深层次的知识而导致的。相反，我们讨论的是存在问题。用哲学术语表达，这是一个本体论问题。一艘真正的忒修斯之船不需要存在。
有趣的一点是，在极端唯名论看来，与具体物体如船只相比，某些抽象物体如数字42拥有更清晰的存在。毕竟，对于42的许多不同的性质，我们所有人的意见一致。如果你从42中减去1，你会得到41而不是42。这和从船上减去木板的情况形成了鲜明的对比。
我已经指出，忒修斯之船是我们用文化构建的世界的一部分。这个构建出来的世界还拥有其他物体如米老鼠和独角兽。实际上，知道米老鼠的人比知道傻兮兮的忒修斯之船的人多。几乎每个孩子都认识我们这只友好的老鼠，而只有古典文学专业和哲学专业的学生——以及本书亲爱的读者们——才会知道忒修斯。而且，你还可以去迪士尼乐园，看一看以实体形象呈现出来的米老鼠。你甚至还能用自己的脚趾踢到他（不建议这样的行为）。相比之下，如今我们无法在雅典的港口找到忒修斯之船的任何痕迹。我们面临着这个显而易见的问题：这艘船在哪方面比米老鼠更有存在感呢？
针对本节提出的众多问题的解决方案挑战了对世界的通常认知。大多数人相信世界上有确定的物体，人类思维用各种名字称呼这些物体。我在这里阐述的是，这些物体并不真正存在。真正存在的是物理刺激。人类区分和命名的是这些不同的刺激。然而这种分类并不总是严格的，因此模糊性无处不在。
类似地，美国军舰宪法号（Constitution）已经在波士顿的港口停靠了将近200年。美国军舰无畏号（Intrepid）停靠在纽约的港口。
亚里士多德假设物体存在四种主“因”（causes）：材料因（它是用什么做成的），形式因（它的形状），动力因（谁/什么制造了它），以及终极因（它的目的）。这些因当中的每一个都在某种程度上解释了该物体是什么。在这个段落，我指出我们可以让忒修斯之船的所有四个“因”都发生变化。然而，虽然发生了这些变化，很多人仍然会认为这艘船没有改变。
然而我们可以对原子进行同样的分析。如果一个碳原子失去了它的一个电子，它还是一个碳原子吗？如果它失去了一个中子呢？如果它与其他原子形成了化学键呢？就连原子也不作为原子存在。
1英里为1.61千米。——编者注
我在这里引用了奥卡姆剃刀原则批评（极端）柏拉图主义。
康德所说的自在之物（德语：ding an sich）。
对东方哲学的讨论超出了本书的范围。然而一部分这些概念在印度和中国哲学中体现得很突出。可以说冥想和“破除我执”的基本目的就是获得比人对事物的分类看得更远的能力。没有分类和名称，观念或物体之间也就也没有分别。现实世界从而呈现出“一”的样式，成为一个统一的整体，这是神秘传统哲学的核心观念。
齐诺、哥德尔和时空旅行
埃利亚的齐诺（Zeno of Elea，约公元前490年—公元前430年）是一位伟大的哲学家，师从巴门尼德（Parmenides，公元前5世纪）。作为一名虔诚的学生，齐诺推广了老师的哲学观念，并替老师挡住了所有批评。巴门尼德有一个神秘的哲学观点，他认为世界是“一”，变化和运动都只不过是幻象，人经过足够训练之后就能识破这种幻象。为了论证巴门尼德的观点是正确的，齐诺提出了几个思想试验和悖论，并用这种方式指出，认为世界“多元”而非“单一”或者变化和运动真实发生的观念不符合逻辑。在本节中，我将关注其中4个阐述运动实乃幻象的思想试验。由于空间和时间中总是在发生运动，齐诺的悖论将挑战我们对这些显而易见的观念的直觉认知。
不幸的是，齐诺的大多数原始文稿都已经丢失了。我们对这些悖论的认识在很大程度上来自那些想要证明他错了的人。亚里士多德先阐述了齐诺的一些观点，然后再将它们一一驳斥。因为齐诺的观点总是被摒弃，所以我们很难弄清他最初的意图是什么。这不应该成为阻止我们的理由，因为我们最关心的不是齐诺实际上说了什么；我们更感兴趣的是弄清楚我们的直觉是否出了毛病，以及我们可以如何调整它。这些观点不应该被等闲视之。它们已经烦扰了哲学家们将近2500年了。无论是否同意齐诺的论断，他都是不能被忽视的人。
齐诺关于运动的第一个也是最简单的悖论是二分法悖论（dichotomyparadox）。设想一下，某个聪明的懒虫某天早上从床上醒来。他试图从床边走到房间的门口（见图3.2）。
图3.2 齐诺的二分法悖论
要想走完到门口的全部路程，他必须先来到这段路程1/2的位置。抵达这个位置之后，他仍然必须向前走1/4的路程。到达那里之后，前面还有1/8的路程必须要走。抵达每个节点后，他都必须再向前走剩下路程的一半。似乎这个懒虫永远也无法走到门口。换句话说，如果他真的想走到门口，他就必须完成一段无穷无尽的过程。由于人无法在一段有限的时间里完成一段无穷无尽的过程，这个懒虫永远走不到门口。
我们的这位懒虫先生可以用更多逻辑推理进一步正当化自己的懒惰。一个人要走到门口，他必须先走到中点。要走到中点，他必须先走到1/4处，而在1/4处之前，他必须先走到1/8处，……在进行任何动作之前，他都必须先完成这个动作的一半。无论去任何地方，一个人都需要完成无限多次的过程。无限多次的过程需要无限多的时间。谁拥有无限多的时间？为什么还要起床呢？
齐诺悖论并不只是关于运动，它与任何需要完成的任务都有关。为了完成一项任务，必须先完成这项任务的一半，然后再继续剩下的任务。这表明在一段有限的时间里，不仅运动是不可能的，执行任何任务甚至任何变化的发生都是不合理的。
对于齐诺的这个小小的思维难题，我们该如何应对呢？毕竟，我们的确曾在一段有限的时间抵达了旅程的终点，而且当我们早上起床之后，我们的确可以做到一些事情。与本书的主题十分相符的是，齐诺悖论可以通过矛盾来证伪。我们假设某件事（错误的），然后我们通过逻辑推导出矛盾或显而易见的谬误。在这里，我们的结论是不存在运动或变化，然而事实上我们总是在见到运动和变化。那么我们的错误假设到底是什么呢？
数学家会争辩说，完成一项无限的任务并不存在问题。让我们看看下面这个无限求和算式吧：
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……
缺乏相应知识的人会说省略号意味着这个算式会无穷无尽地延伸，所以总和将是无穷大。然而总和是有限的数字1。
我们可以用一种优美的平面几何的方式展示这个算式等于1。设想一个边长为1的正方形，如图3.3所示。
图3.3 以平面几何表示的无限求和算式
我们可以看到，这个正方形由它自身的1/2加上它的1/4再加上1/8再加上……组成。每个剩余的部分都可以进一步分成两半。显而易见，整个正方形覆盖的总面积是1。
然而，如果某个数学家宣布这样就解决了齐诺这个在有限时间内完成无限过程的悖论的话，那他在某种程度上就是不老实的。毕竟，这位数学家并没有将这个无穷算式的每一项都逐个加起来。他只是展示出了前面几项，然后用省略号表示后面还有无限多个加数。他耍了个花招，将他要加上的各项内容简略地表示了出来。如果有人坐下来，将所有无穷无尽的各项逐个加上去，一定会花无限多的时间。
一个更好的办法是声称齐诺的推理存在问题，问题在于他假设空间是连续的。这就是说空间看起来就像一条线，是无限可分的——在两点之间存在无限多个点。只有在这样的假设之下，才能描述二分法悖论。如果是相反的情况，不妨设想我们正使用一台拥有几百万像素的老式电视观看懒虫走向门口。随着他的走动，他在穿越这些像素。他穿过了电视机的一半像素，然后穿越了剩下像素的一半。最终电视机里的懒虫会距离门口只有1个像素，然后他就来到了门口。他不可能只穿过半个像素。1个像素要么被穿过，要么不被穿过。在电视屏幕上，懒虫抵达目的地不会产生任何问题，齐诺的悖论也烟消云散了。或许我们也能够对真实的世界做出同样的判断。或许空间是由离散的点构成的，相邻的点彼此独立，任意两点之间其他点的数量都是有限的。如果是这样，我们就不用再为二分法悖论头疼了。如果我们假设空间是离散的，我们就能理解为什么我们的这位懒虫先生能够走到门口了：他只需要穿过一系列数量有限的点。在某一时刻，剩下的间隔再也无法一分为二。在这种类型的空间中，物体的运动形式是从一个离散的点跳跃到另一个离散的点，而不会进入它们之间。
使用第1章中的语言，我们可以说这是一个悖论，因为如果我们假设空间是连续的：
空间是连续的⇒运动是不可能的。
由于这个世界上无疑存在运动，我们的假设推导出了谬误的结果，所以我们可以判断，空间是不连续的。相反，它是离散的，或者说分成众多微小的“空间原子”。
量子力学的研究者对这种离散空间的概念相当熟悉。物理学家会谈论普朗克长度（Planck’s length）这个术语，它等于1.6162×10–35米，比它更小的长度是无法测量出来的。在某种意义上说，不存在比它更小的东西。物理学家向我们保证，物体在运动时总是从一个普朗克长度移动到另一个普朗克长度。在高中化学课上，我们学到原子中的电子围绕原子核分层高速运动。当某个原子吸收能量时，电子会发生“量子跃迁”，从自己原本的那层跳跃到下一层。它们不会进入各层之间。或许我们的懒虫先生也进行了这样的量子跃迁，因此最终能够走到门口。
让我们重新思考一下图3.3。如图所示，这个正方形被无限分割了下去。但只有当我们将这个正方形当成一个数学对象时，这种情形才有可能。在数学中，每个代表一段距离的实数都可以一分为二，因此我们才能永远继续切割下去。相比之下，让我们将这个正方形想象成一张纸。开始的时候，我们可以用越来越精细的剪刀将纸裁剪得越来越小。这样的做法可以持续一段时间，但最终我们会到达原子水平，再也无法进一步切割。对于任何由原子构成的具体物体来说都是如此。我们被迫做出结论，从物理学的角度来看，图3.3描绘的正方形并不适用于正方形的纸张。实数可以无限分割，但纸不可以。齐诺迫使我们提出了空间（不是由原子构成的）是否可以无限分割这个问题。如果能够无限分割，懒虫先生就不能抵达自己的目标终点。如果不能的话，说明一定存在离散的“空间原子”，使用连续实数表示的数学不能够作为空间的合适模型。
然而，我们不能如此轻率地断定空间是离散的而不是连续的。世界看上去的样子当然不像是离散的。运动给人的感觉就是连续的。数学物理的许多内容都以微积分为基础，这需要假设真实世界是无限可分的。在量子力学和齐诺的哲学理论之外，连续实数是能够完美适用于物质世界的模型。我们建造火箭和桥梁时使用的数学就假设世界是连续的。让我们不要这么快地抛弃它吧。
关于运动的第二个齐诺悖论是阿喀琉斯（Achilles）和乌龟的故事。阿喀琉斯是现代D.C.漫画中闪电侠（The Flash）这个角色的古希腊版本，他是城里跑得最快的人。有一天他和一只慢吞吞的乌龟进行了一场跑步比赛。为了让这场比赛更加有趣（还因为阿喀琉斯是个心地善良的暖男），阿喀琉斯让乌龟先出发，如图3.4的第一行所示。
问题在于，阿喀琉斯要想超过乌龟，他必须先通过乌龟开始的起点（如图3.4的第二行所示）。当阿喀琉斯跑到这一点时，乌龟已经向前移动了一段距离。再一次地，阿喀琉斯要想超过乌龟，他必须先抵达乌龟已经移动到的地方。在每个节点，阿喀琉斯都越来越接近恼人的乌龟，但他永远也无法追上它，更别说超过它了。
图3.4 阿喀琉斯追不上乌龟
针对这个悖论可以进行类似的数学分析。在微积分中，我们说当x趋近于正无穷时，1/x的极限为0。也就是说，x的绝对值越大，1/x就越接近0。由于正无穷不是一个数字，x永远不会达到正无穷，所以1/x永远不会达到0。但是极限的概念让这个等式有了意义。相似地，阿喀琉斯和乌龟之间的距离永远不会真正为零，但这个距离的极限等于零。我们同样能在这种类比中找到瑕疵。数学上的极限概念是一种把戏。因为对于任何有限的数字，1/x都不会真正等于0，在任何一段有限的时间里，阿喀琉斯都不会真正追上乌龟。
如果我们假设跑道是由离散的点构成的，这个悖论也同样会烟消云散。阿喀琉斯比乌龟跑得快这个事实只是意味着在一段相同的时间里，他跑过的离散点的数量更多。所以最终阿喀琉斯将超过乌龟。离散空间可以解答这个悖论，但是同样地，我们必须小心谨慎。我们在抛弃连续空间的观念时应该怀着极大的忧虑，因为这个数学模型在普通物理学中的适用性非常好。
在第三个悖论中，齐诺甚至不再关心一个动作是否能够完成。他攻击的是运动这个观念本身。在飞矢不动悖论（arrow paradox）中，我们被要求设想一支在空间中飞行的箭。在时间的每一瞬间，这支箭都处于某个特定的位置上。如果我们将时间设想成一系列连续的“现在”，这些“现在”分开了身后的“过去”和前面的“将来”的话，那么对于每一个“现在”，这支箭都位于某个特定的位置上。在时间的每一个点上，箭都位于某个确定的位置，没有运动。问题是，这支箭在什么时候运动呢？如果它在每个“现在”都不运动，那它在何时运动呢？
如果我们引入离散的概念，这个悖论也会迎刃而解。不过不是强调空间是离散的，我们在这里要说的是时间是离散的。在时间的每个单独的点上不存在运动。但是时间会从一个单点跳跃到另一个点上，运动和这一瞬的跳跃同时发生。换句话说，时间是离散的，不是连续的。我们为什么看不到这些神奇的跳跃呢？我们在看电影时以为自己看到的是连续动作，原因是一样的。事实上，电影是由离散的众多静止画面组成的，这些画面之间不存在运动。因为单独时间点彼此十分接近，而且这样的时间点非常多，所以才产生了连续性的假象。
这个悖论基本上描述了下列推导过程：
时间是连续的⇒运动是不可能的。
又是相同的情况，既然运动是可能的是显而易见的事实，我们可以得出结论，时间是不连续的。
这个悖论也存在相应的数学类比。将时间设想为代表实数的线。实数线上的每一点都对应着一个“现在”。而每一个“现在”都是没有厚度的。上学的时候，你已经学到数学中的实线是由无限多个点组成的，而且每一点的长度都为零。那么一段有长度的实线如何由没有任何厚度的点组成呢？零乘以任何数字都是零。你的数学老师在向你撒谎吗？实数线是对的吗？我们是否应该摒弃它？
再一次地，为了接纳离散时间观念而摒弃连续时间观念也存在问题。现代物理和工程学都以时间连续这一现象为基础。所有公式都含有一个连续的时间变量，通常表示为t。然而，正如齐诺向我们展示的那样，连续时间的观念是不符合逻辑的。
第四个也是最后一个针对运动的悖论是运动场悖论（stadium paradox）。齐诺想让我们想象一下竞技场上的三支游行队伍，如图3.5所示。
图3.5 三支游行队伍同时出发
A队伍静止不动，在A队伍身后，B队伍和C队伍正在以相同的速度相向而行。经过一段时间后，这三支游行队伍就会如图3.6所示。
图3.6 结束时的三支游行队伍
值得注意的是，在一段相同的时间里，最前面的B经过了2个A和4个C。既然A和C大小相等，B怎么能经过数量不同的A和C呢？显而易见的答案是，A是静止的，而C是运动的。速度和相对速度之间存在差别——亚里士多德使用同样的理由驳斥了这个悖论。当我们开车或坐在车里时，总是会发现路边房屋掠过的速度和对面的车掠过的速度有明显差别，我们对此已经习以为常了。
或许我们不该如此蔑视巴门尼德忠实的学生。事实上并没有办法确定齐诺最初的意图是什么，因为我们只有来自亚里士多德的一段简单的讨论。现代思想家假设了一个稍微复杂一些的情景。在之前的三个悖论中，我们看到如果我们将空间和时间想象成离散的或者量子化的，这些问题就都迎刃而解了。在最后这个悖论中，让我们假设空间和时间都是离散的。设想各游行队伍的成员都拥有可能情况下最小的离散尺寸。与此同时，想象B以可能情况下最快的速度移动。B队伍从图3.5的位置移动到图3.6的位置需要两个时间的“嘀嗒”。在这样的速度下，B的每个成员在每个时间的“嘀嗒”中经过一个方框。这是B队伍经过两个A方框所需要的可能情况下最短的离散时间。在这段最短的时间内，B是如何经过数量为两倍的C方框的？这意味着B经过C的速度还要更快。对于B队伍中的成员而言，这样的情景看起来像是什么？在B队伍眼中，C队伍要么遗漏了两个方框，要么比允许的最大速度还要快。对竞技场悖论的解读意味着，空间和时间是离散的这样一种假设也是有问题的。
空间和时间是离散的⇒谬误。
我们必须断定，空间和时间不是离散的。
究竟如何？空间和时间是连续的还是离散的？一方面，竞技场悖论指出空间和时间应该是连续的。另一方面，如果我们将空间和时间设想为离散的，前三个悖论就能解决。答案很简单，我们不知道空间和时间的性质。
这种冲突是当代物理学的一场对立的缩影。20世纪物理学的两大成就是相对论和量子论。这两大革命性的科学进展基本上描述了物理世界的大部分现象。相对论涉及的是引力和宏观物体，而量子论涉及的是其他力和微观物体。然而，这两大理论彼此之间却是存在冲突的。它们之间冲突的主要原因之一就在于，相对论认为空间和时间是连续的，而量子论认为空间和时间是离散的。在大多数情况下，由于这两种理论的应用领域不同，这种冲突并不会让我们感到困扰。然而对于某些特定的现象如黑洞——又被称为“空间的边缘”，这种冲突就会十分明显。既然我们不能同时拥有互相冲突的物理理论，那么一定是因为我们还不知道最终的故事。关于空间和时间的结构，我们尚无定论。
齐诺悖论最令人惊叹的一面在于，它们来自2500年前，而且关注的是如此终极的主题。空间、时间和运动的本质是什么？我们无法确定的是，这位来自埃利亚的朋友是否向我们发出了最后这项疑问。
既然我们在讨论空间、时间和逻辑的关系，就让我们来谈谈时间旅行悖论吧。我们首先必须问问自己，穿越到过去的时间意味着什么。如果我穿越到1776年的费城大陆会议，见证了《独立宣言》的签署，那意味着什么？如果我奇迹般地穿越回去，亲眼看到了签字盛况，那么我在那个炎热的七月天身处那个会议室的事实就意味着这不是原本的大陆会议。毕竟原本的大陆会议的会场没有我的存在。换句话说，如果原本的大陆会议一共有150人在场，当我穿越回去的时候，会有151人在场。这不是原本的会场。我穿越回去的会场和原始的会场之间存在重大区别。我穿越回去的到底是何时何地？有一点是确定的：不是1776年的大陆会议。这个困境说明，即便是理解时间旅行本身的基础观念，也是非常困难的。
尽管如此，还是让我们暂时设想一下我们理解了时间旅行的真正意义，而且不妨再让我们设想一下，这样的过程其实是可能的。如果时间旅行是可能的，时间旅行者可以回到过去的时间，开枪射杀他当时还是单身汉的祖父，以此确保这位时间旅行者永远不会出生。如果他永远不会出生，那么他永远无法射杀自己的祖父。达成这样充满悖论的效果并不一定需要杀人行凶。时间旅行者可以确保自己的父母永远不会有孩子，他还可以只是回到过去，确保自己将来不进入时间机器。这些动作会导致矛盾，因此不可能发生。时间旅行者不应该射杀自己的祖父（且不论道德上的理由），因为如果他射杀了自己的祖父，将来他就不会存在，无法穿越回来射杀自己的祖父。于是他通过完成一项动作来确保这一动作无法被完成。这一事件是自我指涉的。通常情况下，一个事件只会影响其他事件，但在这里，一个事件影响了自身。使用第1章的语言，我们是在指出：
时间旅行⇒矛盾。
由于世界不允许矛盾存在，我们必须通过某种方式避免这种矛盾。要么时间旅行是不可能的，要么即使时间旅行是可能的，一个人也无法制造出杀死更早版本的自己这样的矛盾。我们更喜欢哪种不可能性呢？
阿尔伯特·爱因斯坦的相对论告诉我们，我们对宇宙的常规认知方式决定了时间旅行是不可能的。1949年，爱因斯坦的朋友，他在普林斯顿的邻居库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）搞了一点物理学兼职，撰写了一篇关于相对论的论文。哥德尔构建了一种看待宇宙的数学方法，这种方法令时间旅行变得可能。在这样的“哥德尔宇宙”中，回到过去的时间非常困难，但不是没有可能。作为亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，哥德尔充分意识到了时间旅行中的逻辑问题。数学家兼作家鲁迪·鲁克（Rudy Rucker）讲述了他对哥德尔的一次采访，鲁克在这次采访中问到了时间旅行的悖论。相关段落值得在此引用：“‘时间旅行是可能的，但没有人能够杀死过去的自己。’哥德尔笑了笑，然后做出了结论，‘这个推导被严重忽视了。逻辑的力量十分强大。’”哥德尔回答道，宇宙不会让你杀死过去的自己。正如理发师悖论说明遵守某些严格规则的村庄不可能存在一样，这个物质世界也不允许你做出某个会导致矛盾的行为。
这将让我们提出更多令人兴奋的问题。如果某个人带着一把枪回到过去，朝更早的自己开枪，会发生什么？宇宙如何阻止他？是他不会产生犯下这桩卑劣罪行的自由意志呢，还是枪会卡壳呢？如果子弹终究被发射出去，瞄得也很准，子弹会在距离他身体很近的地方停下来吗？生活在一个不允许矛盾的世界里，实在是令人困惑啊。
这实际上是最容易证明的定理之一，值得花一分钟时间展示它的证明过程。让我们假设我们不知道总和是多少，并将其称为x：
x=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…
再重申一次，我们不知道x是多少，但是通过为它命名，我们就能操纵它了。思考（1/2）x。根据算术分配率，我们知道1/2（a+b+c）=（1/2）a+（1/2）b+（1/2）c。
这不仅适用于三个数字，还适用于无限多个数字。于是我们还能得到
1/2x=（1/2）×（1/2）+（1/2）×（1/4）+（1/2）×（1/8）+（1/2）×（1/16）+…=1/4+1/8+1/16+1/32+….
用x减去1/2x，我们得到
x–（1/2）x=（1/2）x
或
x–（1/2）x=（1/2+1/4+1/8+1/16+…）–（1/4+1/8+1/16+1/32+…）=1/2。即
（1/2）x=1/2
即x=1。证明完毕。
我们将在第7章第2节中遇到并解释其中的一些观念。
亚里士多德写道：“此外，原子构成物体的观念肯定会和数学产生冲突，还会让许多常见观念、显而易见的数据和感知变得无效。”［《论天》（De Caelo），303a21］
如果我们假设数学是离散的，那么用来建造火箭和桥梁的数学就会比微积分复杂得多。或许我们生活在其中的世界真的是离散的，微积分只不过是这个世界的真正数学模型的一种简单的近似模拟。
第7章深入地讨论了这些主题。
我们都是时间旅行者：我们在时间中瞬息不停地向前旅行。
应该提到的一点是，如果我能回到大陆会议之类的时空坐标，只有我自己会感到困惑。在我看来，我知道原本的大陆会议没有我，现在我却在那里。然而对所有其他人而言，既然我已经通过出现在那里改变了历史，他们就不会感到奇怪了。
这是1985年的一部电影《回到未来》（Back to the Future）的主题。
Rucker（1982，168）。
模糊且暧昧的人类陈述
一个人要掉多少头发才会被认为是秃子呢？非得看见他的头皮才算数吗？如果他的头发长而稀疏呢？那样会有区别吗？一个人在什么情况下才会被认为是高个子呢？一“堆”（pile）玩具和一“堆”（heap）玩具之间有区别吗？这种颜色是红色还是褐红色？所有这些问题都和模糊性的概念有关。一个人什么情况下是秃子，什么情况下不是秃子，似乎并不存在一致性意见。对于高和矮这对形容词的使用，也不存在普遍认同的观念。甚至你的室内设计师也曾有过一段努力区分深红色和褐红色的艰难时光。在这一节，我将探索在我们的语言和思维中无处不在的模糊性元素。
我们描述理性局限的核心方法之一是寻找矛盾。正如我在第一章所强调的那样，物质世界中不存在矛盾。与物质世界相反，在人类语言和思维中，矛盾是可以存在的。人类不是完美的存在。我们的语言和想法充斥着自相矛盾的陈述和观念。当我们想用理性谈论物质世界时，我们必须确保自己的语言和思维不存在矛盾。然而总是存在这样一些时刻，我们表面上在思考或讨论物质世界，但我们表达的意思却不清楚。存在模糊性时就会出现矛盾。矛盾的陈述既真又假，与之相反，模糊的陈述可以看成是非真非假的。
模糊性会出现在并不总是有严格定义的词汇上。例如，一个5岁大的人显然是一名儿童。相比之下，一个25岁大的人肯定不是儿童。一个人在什么节点上就不再被认为是儿童了呢？存在一些临界个案（borderline cases），相关之人既不是儿童，年龄也不比儿童更大。此类拥有临界个案的词汇就是模糊的。拥有临界个案的其他词汇包括高、聪明和红色。红色在哪里结束，褐红色又从哪里开始呢？深红色、鲜红色、猩红色、樱桃红、深褐色、粉红色、红宝石色和紫红色呢？
我们必须先区分模糊陈述和暧昧陈述。在暧昧的陈述中，该陈述的对象是暧昧不明的。例如，“杰克身高一米八以上”是暧昧的陈述，因为你不知道讨论的是哪个杰克。杰克·巴克斯特（Jack Baxter）身高一米八以上，但杰克·米勒身高不足一米八。然而，这个陈述不是模糊的，因为一米八是个确切的长度。当然，我们也可以做出既模糊又暧昧的陈述：“杰克很高。”
我们还必须区分模糊陈述和相对陈述。“杰克·巴克斯特很聪明”可能是真的，也可能是假的，这要取决于和他比较的是谁。如果你将杰克和他班上的其他人比较的话，那么他完全可以被认为是聪明的；然而，这个班级可能并不是最聪明的班级。相对陈述的真实性可能取决于该陈述的语境。我们谈论的是谁呢？有人可能会认为在哈佛大学的毕业典礼上致辞的成绩第二的优秀毕业生代表是个笨蛋……很合理，因为如此认为的人是成绩最优秀的致辞毕业生代表。暧昧的和相对的陈述都是缺乏特异性的。换句话说，存在缺失的信息。通常情况下，如果增添了更多信息，这样的描述就能得到清晰的理解。如果能够鉴别出暧昧陈述的描述对象或相对陈述的语境，我们就可以判断相应陈述的真假。相比之下，即使增加更多信息，模糊性的描述通常也无法逆转。没有更多的信息可以添加。一个人什么情况下会被认为是秃子呢？答案“在风中飘荡”。不存在真正的答案。
模糊性并不一定是件坏事。有时候模糊是必需的。生物学家使用模糊的性状描述不同的物种。许多律师受雇利用模糊性（并混淆事实）。外交官们在和外国缔结条约的时候是模糊的，以免日后违反自己的承诺。当一位女士询问某件裙子是否让她看起来发胖时，你的回答最好模糊一些。
在模糊性为什么会存在这个问题上，哲学家通常分成两派。一些哲学家认同的是本体论的模糊性（ontological vagueness），也就是说，某些词汇没有确切含义的原因是这些词汇的确切含义真的不存在。“高于6英尺”的确切定义是存在的，然而却不存在“高”的确切定义。相比之下，其他哲学家提倡的是认识论的模糊性（epistemic vagueness）。他们相信模糊词汇存在确切定义，但我们就是不知道那是什么。
哪种解释更有道理呢？本体论的模糊性还是认识论的模糊性？虽然每个人都有自己的意见，但没有人能给出决定性的结论。不幸的是，这是一个无法回答的形而上学的问题。以本人的愚见，我倾向于本体论的模糊性。出于在第3章第1节中阐述的理由，很难相信高、秃头或红色存在确切的定义。谁决定了这些确切的定义呢？它们会出现在柏拉图的阁楼里吗？存在某个确切的高度被认为是高的吗？是否有一个均匀分布头发的确切数量恰好令一个人免于成为秃子呢？存在某个确切的波长令一种光是红色而非樱桃色吗？我对此十分怀疑。既然我们否认了忒修斯之船拥有确切定义，那么我们否认高、秃或红拥有确切定义也是合情合理的。
模糊词汇的一个问题在于，我们用来理解世界的常用逻辑和数学工具对于这样的词汇而言并不适用。例如，逻辑的主要规则之一是，对于任何命题P，一定存在P或非P为真。例如，“现在的气温要么低于32℉，要么不低于32℉”总是真的（而且因此不包含任何实质性内容）。这个规则称为排中律（law of excluded middle）。它意味着一个命题要么为真，要么为假，不存在中间状况。然而，对于模糊性的判断而言，排中律就失效了。我们都认识很多既不算高也不算不高的人，他们就处于中间状况。还有一些男性既不算秃，也不算不秃……和许多男性一样，他们正在朝秃的方向发展。
逻辑的主要工具之一是名曰演绎推理（modus ponens）的法则。该法则说，如果某陈述P为真而且“P推导出Q”为真，那么我们可以推理出陈述Q为真。我们可以用符号将这个过程表示为：
例如，从“正在下雨”和“如果正在下雨，那么天空中有云”这些事实，我们可以推导出“天空中有云”。这种基础逻辑法则是所有推理活动的根本。然而当我们处理模糊词汇时，这种法则就会失效。在接下来的一些段落中，我将描述一些由于演绎推理法的失败而产生的奇怪的逻辑推理。
如果一个人脑袋上一根头发都没有，那他肯定是秃子。如果他头上有一根头发呢？大多数人都会说，头上只有一根头发的人仍然会被认为是秃子。如果他头上有两根头发呢？如果有一根头发的人被认为是秃子，很难相信再多一根头发他就头发茂盛了。他一定会被认为是秃子。三根头发呢？一定存在这样一条规则：
如果拥有3根头发的人是秃子，那么拥有4根头发的话，他也还是秃子。
我们仍然只是增添了一根小小的头发，所以这个规则一定是正确的。事实上我们可以将这个规则推广至下列对所有正整数都适用的规则：
如果拥有n根头发的人是秃子，那么拥有n+1根头发的话，他也还是秃子。
按照我们的分析继续推导下去，我们能够得出这样的结论：拥有10万根甚至1000万根头发的人依然是秃子。但这肯定不是真的。有这么多头发的人不是秃子。这就是秃子悖论（bald-man paradox）。
这种类型的悖论可以追溯到古希腊时期，称为麦粒堆悖论（sorites paradox，来自希腊语单词“soros”，意为“堆”）。
通常认为首次提出这个谜题的人是米利都哲学家欧布里德（Eubulides of Miletus，公元前4世纪）。他的问题是多少个麦粒才能组成一堆。一个麦粒是一堆吗？显然不是。如果再加一粒呢？两个麦粒是一堆吗？仍然不是。毕竟我们只添了一个小小的麦粒。我们可以如此表示下列规则：
如果n个麦粒不是一堆，那么n+1个麦粒也不是一堆。
按照和秃子悖论类似的分析推导下去，我们会得到明显错误的结论，无论多少个麦粒也不能组成一堆。什么地方出错了？
让我们仔细分析这一论证。从显而易见的陈述开始：
1个麦粒不是一堆。
使用n=1的n个麦粒规则，我们得到：
如果1个麦粒不是一堆，那么2个麦粒也不是1堆。
使用演绎推理法将这两个规则结合起来，我们得到
2个麦粒不是一堆。
继续，将此陈述与
如果2个麦粒不是一堆，那么3个麦粒也不是1堆。
结合，我们得到：
3个麦粒不是一堆。
继续无限地推导下去，我们就能看出，对于任意正整数n，无论n有多大，n个麦粒都不是一堆。
这显然是谬误。
我们还可以从相反的方向推导。假设某个谷堆由1万个麦粒组成。如果我们拿走一个小小的麦粒，我们能得出9999个麦粒不是一堆的结论吗？很显然，它们仍然是一堆。可以将其表达为下列规则：
如果n个麦粒是一堆，那么n–1个麦粒也是一堆。
使用这一规则并将演绎推理法应用许多次的话，我们就能得到一个明显为假的结论，总共1个麦粒也是一堆。类似的论证方式可以指出，只有1根头发甚至没有头发的人不是秃子。
另一个麦粒堆类型的悖论是小数字悖论（small-number paradox，又称王氏悖论）。0是一个小数字。如果n是一个小数字，那么n+1也是。我们会得到一个明显为假的结论，任何数字都被视作小数字。还有许多其他类型的麦粒堆悖论。如果我们给一个人的身高增加1厘米，那他就是高个子了吗？如果一个人的体重增加了一磅，他是不是就变成胖子了呢？类似地，对于任何其他模糊的词汇如富有、贫穷、短、聪明等而言，总是存在相关的麦粒堆悖论。
我们如何理解这样的悖论呢？一些哲学家说，麦粒堆悖论向我们指出演绎推理的逻辑规则存在问题。通过遵守演绎推理法，我们得到了谬误的结论，所以不能信任演绎推理法。这似乎有点太严厉了。演绎推理法非常完美地适用于大多数逻辑、数学和论证过程。我们为什么要抛弃它呢？其他哲学家（他们相信所有模糊性都是认识论的——也就是说，他们相信存在着我们意识不到的确切边界）认为“如果n个麦粒不是一堆，那么n+1个麦粒也不是一堆”这条规则是错误的。在他们看来，存在某个n使得n个麦粒不形成一堆，但n+1个麦粒形成一堆。我们这些肉眼凡胎意识不到是哪个n，但它仍然存在。对于这些哲学家而言，演绎推理法是正确的，但上述推论无效，所以不能用在演绎推理法的论证中。
如上文所述，对我们而言，模糊性不是认识论的问题，而是本体论的问题。不存在明显而确切的界限，而从n个到n+1个麦粒的推论事实上总是正确的。
与其说演绎推理这一显而易见的规则存在某种问题，我更愿意说这个绝妙的规则是完美的，但并不能总是适用。尤其是不应该将演绎推理法应用在模糊词汇上。虽然演绎推理法看似适用于该规则的前面少数几个例子（例如，2个、3个和4个麦粒都不是一堆），但是对于后面次序大得多的应用，我们得到了显然荒谬的结论。我们必须只能将演绎推理法应用在精确词汇上。我们无法将演绎推理法应用于模糊词汇，因为这样做会让我们超出理性的束缚。
这些逻辑和数学工具在模糊词汇面前的失效是有道理的，因为这些工具在人类的思维中都是使用精确词汇表达的。研究科学、逻辑学和数学都需要精确词汇。当我们离开了精确定义的领域，即当我们谈论秃头、高和红色时，我们就是在离开逻辑和数学所能帮助我们的边界。模糊性超出了理性的界限。虽然我们在日常生活中可以畅通无阻地使用这些词汇交流，但我们必须小心谨慎，不要跨越理性的边界。
如前所述，在涉及模糊性陈述时，数学家和逻辑学家多少有些不知所措。他们工具箱中的常用工具变得不再有效。然而，由于这些模糊词汇无处不在，我们不能简单地忽视它们。研究者们已经开发出了许多不同的方法来理解这个模糊的世界。我将在这里列出其中的几种。
逻辑学通常处理要么为真要么为假的概念。模糊逻辑（fuzzy logic）是逻辑学的一个分支，它探讨的概念可以拥有位于真和假之间的任意中间值。假设真是1，假是0，模糊逻辑探讨的不是只有两个元素的集合{0,1}，而是包含0和1之间所有实数的无限集合[0,1]。在这样的设定下，我们可以对不同的个例赋予不同的值。泰利·萨瓦拉斯（Telly Savalas）和尤尔·伯连纳（Yul Brynner）都是彻彻底底的光头，所以会得到0的赋值。拥有一头浓密头发的人会得到1的赋值。中间状态的人会得到中间的值。0.1意味着几乎是秃子，而0.5就是不偏不倚的中间状态。某人会得到0.7235的值。建立起这些不同的值后，研究者们继续开发了类似“与”和“或”这样的概念，以便让这种逻辑能够运转起来。
有一种相关的逻辑领域与模糊逻辑类似，称为三值逻辑（three-valued logic）。三值逻辑不认为一种陈述是非真即假的，它认为一种陈述是真的、假的或不确定的。逻辑学的这些分支广泛应用于人工智能领域，以便让计算机的行为更接近人类。如果我们将来要拥有与人类交互的计算机，那么它们就必须像人类一样处理模糊词汇。这些多值逻辑在处理模糊陈述时表现得非常成功。
用来处理模糊词汇的另一种方法是限制对逻辑的使用。假设一个人位于秃头和头发茂盛正中间的状态。与其说他既不是秃的，也不是不秃的，不如说他既是秃的，也是不秃的。在经典逻辑学中，如果一种陈述和它的反面都为真，我们就有了矛盾，逻辑体系就是前后不一的。这种体系存在着一个重大问题，任何事情在这样的体系内都可以被证明，也就是说，从谬误中可以推导出任何事情。虽然大多数逻辑学家都极力避免这样的体系，但也有一些逻辑学家如格雷厄姆·普里斯特（Graham Priest）喜欢这个体系。他们试图允许存在特定类型的矛盾，以这种方式将逻辑学的领域延伸到模糊性的问题上。认为存在某些类型的矛盾为真的观念称为双面真理论（dialetheism）。允许出现这些矛盾的逻辑称为次协调逻辑（paraconsistent logics）。这些次协调逻辑所做的基本上就是对逻辑进行限制，以免每个命题都来自一个矛盾。这些限制就位之后，就可以对模糊词汇推导出有意义的命题。这个方向上的研究在过去几年也取得了进展。
就连色情作品也是模糊词汇。美国最高法院的大法官波特·斯图尔特（Potter Stewart）曾经说过，他无法定义色情作品，“但我看见它的时候，就知道它是不是”。
常见的一种观点是，如果两种动物可以交配，它们就属于同一个物种。然而这个定义存在一个严重的问题：动物A也许能够和动物B交配，这让它们属于同一个物种。与此同时，动物B也许能够和动物C交配，让它们也属于同一个物种。然而，动物A可能无法与动物C交配，因此它们是不同的动物。按照这个定义，物种缺乏身份同一性的传递性，这种缺乏类似我们在第3章第1节中见到的关于身份同一性的其他问题。
这解释了为什么这一节位于本章，而不是关于语言悖论的那一章（第2章）。
我们的老朋友齐诺也拥有该悖论的一个版本。有人甚至在圣经中找到了麦粒堆类型的论证（见《创世记》18:23—33）。
关于这个主题，罗希特·帕里克（Rohit Parikh）也写了一篇非常有趣的论文：Parikh，（1994）。
知道意味着什么
设想一下，你正在参加电视竞赛节目《一锤定音》（Let’s Make a Deal），节目主持人蒙蒂·霍尔（Monty Hall）向你展示了三扇门，告诉你其中两扇门的后面是一只山羊，另外一扇门的后面是一辆崭新的跑车。你需要选择一扇门，无论门后是什么都归你了。当你选中一扇门，但还没有打开这扇门看看自己赢了没有的时候，蒙蒂阻止了你，然后打开了另外一扇门，门后是一只山羊（他知道每扇门的后面是什么）。此时他向你提供了一个机会，你可以坚持原来的选择，也可以转而选择第三扇没有被打开的门。你应该怎么做？
你的第一反应是最好坚持原来的选择。毕竟，当你开始选的时候，每扇门都有1/3的概率有跑车。现在既然打开了一扇门，那么你最初的选择有跑车的概率就变成了1/2。换到另一扇门又能得到什么呢？
玛丽莲·沃斯·萨万特（Marilyn vos Savant）针对这个问题在《大观杂志》（Parade Magazine）上写了一个谜题特别专栏。沃斯·萨万特建议你换另外一扇门。她说跑车更有可能在未被打开的门后，而不是你最初选择的那扇门。如果你起初认为没理由更换的话，也不必感到羞愧：和你站在同一阵营的人多得很。专栏文章发表后，一万多封读者来信告诉她她是错误的。在这一万多封信中，有一千多封信的作者自称是博士学位获得者。这篇文章和这些来信引起了巨大的轰动，以至让这个故事登上了《纽约时报》（New York Times）的头版。
要弄清楚为什么应该换成另一扇门，让我们来看看所有的可能性，如图3.7所示。
假设蒙蒂将跑车放在第三扇门后。你有三扇门可以选择，三种选择用三排情景表示。左半部分显示的是如果你坚持最初的选择会发生什么，右半部分显示的是如果你更换了自己的选择将会发生什么。不换的策略让你有1/3的概率得到跑车，而更换的策略让你有2/3的概率获胜。你的确应该换。
图3.7 蒙蒂·霍尔问题的所有可能性
在这里发生了什么？为什么换到另一扇门会有这么大的优势呢？答案在于当蒙蒂·霍尔打开一扇门时，他给了你更多信息。蒙蒂知道跑车在哪扇门的后面，而且不会打开有跑车的门。通过避开另外一扇门，他为你提供了另外一扇门被避开的信息。当他为你提供了信息的时候，每扇门后面的内容的概率发生了改变。
有一种方法可以让你更清楚地看出这一点，想象一下蒙蒂给你展示了25扇门，告诉你其中一扇门后面有一辆跑车，其他24扇门后都是一只山羊。你选择了一扇门，然后蒙蒂打开了其他23扇门，每扇门的后面都是一只山羊，如图3.8所示。
现在只有两扇门是蒙蒂没有打开的：你选择的那扇门和他避开的那扇门。现在只剩下两种可能：（a）你选择的那扇门是有跑车的（1/25的概率），蒙蒂在故弄玄虚，希望你换成另一扇；（b）你选择的是一扇有山羊的门（24/25的概率），而蒙蒂既然知道跑车在哪扇门后，他就不会去开那扇门。很显然你应该换。在这里，通过不告诉你跑车在哪里，蒙蒂隐秘地向你提供了跑车所在的相关信息。
图3.8 蒙蒂·霍尔问题的扩展版
还存在这样一种值得思考的有趣情景。假设蒙蒂本人并不知道汽车在哪里，那么他就会随机开门。他可能会恰好打开有跑车的门，游戏就结束了。但如果他没有恰好打开有跑车的门，那么你应该换吗？答案：不换！不会有额外的好处。当你知道蒙蒂知道，而且他在隐秘地为你提供信息的时候，你才应该换。
我们在本节探讨知道和信息的奇异之处，这只是其中的一面而已。
与知道相关的最简单的悖论是我们在上一章遇到的著名的说谎者悖论的变体。在你的头脑中记住下面这个观点：
这个观点是错误的。
和说谎者悖论一样，当且仅当这个观点是正确的，它才是错误的。这个自指悖论也有许多变体。例如，在某个周二你突然觉得今天自己不能正常思考，
不过明天的时候，我的想法就会清晰、正确。
那么，在周三，你会意识到
我昨天的所有想法都是错误的。
问：周二的想法是正确的还是错误的？只需进行简短的论证就会发现，当且仅当周二的想法是错误的时候，周二的想法才是正确的。
针对这个悖论，一个可能的解决方案是承认人类的思维本就充满矛盾。正如我在第1章提到的那样，人类思维不是一台完美的机器，存在着互相冲突的想法。只需要一点内省精神，就能发现我们所有人都相信彼此矛盾的概念。
突击测验悖论（surprise-test paradox）是与知道相关的更有趣的悖论之一。一位老师在班上声称下周将有一次突击测验。下周需要上课的最后一天是周五。突击测验会在哪一天进行呢？如果测验在周五进行，那么周四晚上放学之后，学生们就知道他们要在周五测验了，这样的测验就不会是突击测验，所以突击测验不会发生在周五。这是纯粹的逻辑推理，每个人都知道这一点。这场测验会安排在周四吗？周三晚上放学后，学生们会推导出来，既然测验还没发生，而且它不能发生在周五，那它一定是在周四。然而相同的情况再次出现了，既然他们知道测验肯定安排在周四，那它就不再是突击测验了，所以这场测验不能安排在周四或周五。我们可以用同样的方式继续推理，判断出这场测验不能发生在周三、周二或周一。这场突击测验到底会安排在哪一天呢？逻辑向我们指出，一名老师不可能在既定的时间段里安排一场突击测验。这是个悖论，因为这违反显而易见的常识，数千年来老师们一直在用突击测验折磨自己的学生。
有趣的是，只要老师保持沉默的话，这个悖论就不会出现了。问题之所以诞生，仅仅是因为这名老师向学生们宣布将有一场突击测验。学生们被告知有突击测验的那一刻，他们必定同时产生了两种互相矛盾的想法：将有一场突击测验，不可能有一场突击测验。
2006年，亚当·布兰登布格尔（Adam Brandenburger）和杰尔姆·凯斯勒（Jerome Keisler）共同发表了一篇关于理性与信念的开创性论文。在下象棋的时候，你肯定是基于理性落子的，并将棋盘上各个棋子的位置考虑在内。你的对手在下棋时也是基于理性的，你肯定也会将这一点考虑在内。你会意识到当你走出理性的一步时，你的对手会看到你的动作，并同样走出理性的一步。你的对手也会考虑到你是理性的，而且她知道你知道她是理性的。在需要策略的任何情况下，这样的情景都会来来回回地反复发生（如图3.9所示）。然而这样的情景是存在问题的。信念处理自身的能力会导致自指悖论的出现，从而产生某种局限。
图3.9 两个人思考对方的策略
布兰登布格尔–凯斯勒悖论（Brandenburger-Keisler paradox）就是一个简单的例子。它是一种双人说谎者悖论。假设安和鲍勃正在思考彼此的想法。现在思考下面这两行话描述的情景：
安相信鲍勃认为的
安相信鲍勃认为的是错误的。
提出下面这个问题：
安是否相信鲍勃认为的是错误的？
如果你回答“是”，那么你就是在同意第二行话。第一行话说安相信鲍勃认为的是正确而非错误的。因此答案是“否”。让我们试试从反方向推理：这个问题的答案是“否”，即安不相信鲍勃认为的是错误的。那么安相信鲍勃认为的是正确的。那么声称安相信鲍勃认为的是错误的第二行，就是正确的。所以应该回答“是”。这是一个矛盾。
布兰登布格尔和凯斯勒采纳了这个观念并将其进一步发展。他们革命