我们生活的世界和语言之间有一项重大不同之处：真实的世界没有矛盾，而人造的语言对这个世界的描述却存在矛盾，我们的思维模式和与之相伴的人类语言充满了模糊的陈述。
他们谈论的那些关于我的谎言有一半都不是真的。
——尤吉·贝拉（Yogi Berra）
对于我们无法言说的，我们必须保持沉默。
——路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889—1951），《逻辑哲学论》（Tractatus Logico-Philosophicus）第7章
毕竟，关于不能言说的事物，维特根斯坦有许多话可以说。
——伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872—1970），维特根斯坦《逻辑哲学论》的序
与其一开始就直奔主题，谈论理性的局限，我们不如由浅入深，先看一下语言的局限。语言是一种工具，用来描述我们生活在其中的世界。然而千万不要把地图和真实的土地混淆了！我们生活的世界和语言之间有一项重大不同之处：真实的世界没有矛盾，而人造的语言对这个世界的描述却存在矛盾。
在本章第1节中，我们会遇到著名的说谎者悖论以及它的众多变体。我们将从这些相对容易的谜题开始探索。第2节包括一系列自我指涉类型的悖论。我会指出它们都拥有相同的形式。在第3节中，我们将遇到若干与描述数字有关的悖论。
哎呀，我不能确定尤吉·贝拉是否真的说过这句话。
德语原文：Wovon man nicht sprechen kann,darüber muß man schweigen。
语言中的矛盾
语言悖论指的是与自身矛盾的短语或句子。语言悖论最简短的版本是矛盾修辞法［oxymoron，源自希腊语单词“oxys”（尖锐）和“moros”（愚蠢）——合并之后的意思是“突出地傻”或“突出地无趣”］。使用矛盾修辞法的短语通常由两个互相矛盾的词组成，例如“原创复制品”“公开的秘密”“无疑很困惑”“好战的和平主义者”“更大的一半”“单独在一起”，还有我最喜欢的“自然而然地行动”。虽然这些短语其实根本说不通，但我们人类仍然会在日常语言中毫不迟疑地使用它们。
语言悖论的经典案例是著名的埃庇米尼得斯悖论，它的历史已经超过了两千五百年。埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前600年）是一位生活在克里特岛上的哲学家和诗人，他曾在一首名为《克里特》（Cretica）的诗中这样抱怨自己的邻居们：“克里特人，都是些骗子、邪恶的野兽、大腹便便的懒蛋！”这似乎是悖论。如果这个陈述是真的，那么既然埃庇米尼得斯是克里特人，那么他就是在称自己是骗子，于是这行诗句就是假的。相反，如果它是假的，那么埃庇米尼得斯就不是骗子，于是这句话又成真的了。
很多语言悖论都和埃庇米尼得斯的话类似。说谎者悖论是一个简单的句子，如：
我在说谎。
或：
这个句子是错的。
如果这些句子是真的，那么它们就是假的。而如果它们是假的，那么它们就是真的。
说谎者悖论有许多种不同的形式。例如，我们可以将某个句子表示为L1，然后说L1声称自身为假：
L1：L1为假。
和上面的情况一样，如果L1是真的，那么它就是假的。而如果L1是假的，那它就是真的。说谎者悖论还有其他一些变体，在这些变体中，句子并不直接自我指涉。思考下面这两个句子：
L2：L3为假。
L3：L2为真。
如果L2是真的，那么L3就是假的，也就意味着“L2为真”是假的，因此L2是假的。相反，如果L2是假的，那么L3是真的，而L3声称L2是真的。哎呀！矛盾出现了。
需要指出的一点是，仅仅因为句子指涉自身和自身的谬误，并不一定意味着会产生矛盾。思考这两个句子：
L4：L5为假。
L5：L4为假。
让我们假设L4为假。那么L5就为真，即L4为假。同样，如果一开始认为L4是真的，那么就会推出L5为假，因此L4为真。无论哪一种假设都不会产生矛盾。
说谎者悖论还有许多其他形式：
●本页唯一有下画线的句子是个彻头彻尾的谎言。
●本页使用粗体印刷的句子完全是谬误。
●本页使用粗体印刷的句子后面的句子不是真的。
这些句子为真还是为假呢？
说谎者悖论存在的历史已经超过两千五百年了，哲学家们设计了多种不同的方式来避免这些矛盾。为了避免这些语言悖论，一些哲学家声称这些与谎言有关的句子既不是真的也不是假的。毕竟并不是每一句话都要么为真，要么为假。问句如“去你家还是我家？”和祈使句如“去死吧你！”都既非真亦非假。我们通常认为陈述句如“雪是白的”要么为真，要么为假，但这些和说谎相关的句子表明，有些陈述句既不是真的，也不是假的。
还有一些人声称，“这个句子是假的”这句话在语法上本来就是不正确的。毕竟，“这个句子”指的是什么呢？如果它确有所指，我们应该能够将“这个句子”替换成它所指代的事物，无论该事物是什么。让我们来试一下：
“这个句子是假的”是假的。
这句话在语法上是正确的，而且它可能是真的或者是假的。但它不再自我指涉，也不等同于最初的说谎者句子。这类似于句子
“此句为假”有4个字。
这是真的，而：
“此句为假”有5个字。
这是假的。如果有一句话语法上完全正确，而且还是自我指涉类型的悖论就好了。W.V.O.奎因非常聪明地找到了一个例子。思考奎因的这句话：
“前面出现对自身的引用时产生谬误”
前面出现对自身的引用时产生谬误。
首先需要注意的是，这句话完全符合语法。整句话的主语是双引号里面的内容，谓语动词是产生。现在让我们来问问自己它是否为真。如果它是真的，那么当你将主语中的内容应用到整个句子时，就出现了谬误。于是这个句子是假的。相比之下，假如这个句子是假的呢？那就意味着当主语应用到整个句子时，没有产生谬误，得到的是一个真实的句子。也就是说，如果假设奎因的句子是假的，就会推导出它是真的。这是一个语法上完全正确然而又自相矛盾的句子。
针对引起悖论的句子，另一个可能的解决方案是限制语言的使用，以避免出现这样的句子。有人说语言应该分成不同的等级。他们声称，句子不能谈论与自身等级相同或更高的其他句子。例如，等级最低的句子有“草是绿的”和“我的笔是蓝色的”等等。而再高一级的句子描述的是最低等级的句子，例如：
“草是绿的”是一句显而易见的话。
或：
“我的笔是蓝色的”有7个字。
让我们再升高一级：
“‘我的笔是蓝色的’有7个字”是一个不折不扣的事实。
通过限制句子的类型，我们将避免下面这种句子：
本页使用斜体印刷的句子符合语法规范。
这个句子描述自身，因此它的谈论内容与自身同级。它被认为不合语言规范。每个句子都只能谈论位于自身“之下”的句子。如果某个句子谈论与自身级别相同的句子，那么它就会被宣布是无意义的。这种分级方法将避免自我指涉的情形出现，因此也就不会导致矛盾。在这样的限制下，语言学家们确信自己禁止了大多数导致悖论的语句。然而这个解决方案显得有些刻意为之。常用的人类语言总是能游刃有余地处理某些类型的自我指涉：
●某人说：“噢！我今天醉醺醺的，不知道自己在说什么。”他意识到自己在说这句话了吗？
●卡莉·西蒙（Carly Simon）唱的一首歌中有这样一句歌词：“你是如此自负，你大概以为这首歌是关于你的。”但这首歌就是关于他的！
●“每个规则都有例外，只有一个规则例外：这一个。”
●“绝不说‘绝不’！”
●“唯一的规则是没有规则。”
在所有这些例子以及不胜枚举的更多例子中，人类语言都在违反这个只能谈论位于自身“之下”句子的规则。在每个例子中，句子都在谈论自身。然而不知为什么，所有这些例子都被认为是规范的人类语言。
针对悖论语句，另一个可能的解决方案已在第1章提及，即人类语言是人类思维的产物，因此必然蕴含着矛盾。人类语言不是全无不协调之处的完美系统（完美系统包括数学、科学、逻辑和物质世界）。我们何不简单地承认这样一个事实，即人类语言有瑕疵和内在的矛盾。这在我看来十分合理。
一些分析指出，埃庇米尼得斯的宣言并不是真正的悖论。首先，我们默认骗子的每句话都是谎言。这是不对的。骗子是说过至少一次谎的人。我们这辈子都至少说过一次谎，所以我们全都是骗子。此外，推导出矛盾的逻辑也存在问题。假设某一时刻，埃庇米尼得斯在说真话。这说明他是个说谎者，这句话是假的。但假句并不是矛盾。相比之下，假设这一时刻埃庇米尼得斯说的句子是假的。这意味着并非所有克里特人都是骗子，存在一个不是骗子的克里特人。这样一个可敬的讲真话的人可以是岛上的任何人。（如果埃庇米尼得斯是整座岛上唯一的人呢？）如果这个讲真话的人是埃庇米尼得斯，那么他就是在讲真话，这个句子就是真的。这就会产生矛盾了。然而讲真话的人不需要是埃庇米尼得斯，可以是岛上的任何人。所以只要我们接受埃庇米尼得斯说的是假话就可以了。最后还有一个有趣的概念需要指出。我们已经判定埃庇米尼得斯的陈述不可能是真的，一定是假的。按照逻辑推理，我们由此断定岛上必定有某个讲真话的人。这展示了语言和逻辑的力量：从埃庇米尼得斯所说的话中，我们推断出了他人的诚实。虽然埃庇米尼得斯悖论存在这些问题，但我们将看到，其他类似的语言悖论是真正无疑的悖论。一个经典的悖论案例结果却不是真正的悖论。这太有悖论感了！
自我指涉悖论
造成说谎者悖论这一问题的原因是语言可以用来描述语言。具体地说，就是一句话可以讨论它自身的真实性。语言描述语言的能力是一种自我指涉。从这种自我指涉中诞生的悖论是本节探讨的主题。虽然这些悖论本身并不是语言悖论，但它们与说谎者悖论非常相似，并且有助于我们理解自我指涉的真正本质。
英国哲学家伯特兰·罗素曾经描述过一个十分有趣的小悖论，后来称为理发师悖论。想象一下，在奥地利的阿尔卑斯山区有一座偏僻的小村庄，村子里只有一名理发师。有的村民自己刮胡子，有的村民找理发师刮胡子。村子里的每个人都遵守下列规则：所有不自己刮胡子的人都必须找唯一的理发师刮胡子，而所有自己刮胡子的人都不劳烦理发师动手。这似乎是一条无关痛痒的规则。要是能通过给自己刮胡子的方式省下一笔钱的话，他们为什么还要去找理发师呢？如果他们去找理发师的话，他们为什么还要自己刮胡子呢？现在，你只需要问问自己下面这个问题：
谁来给理发师刮胡子呢？
理发师也是村民的一员，所以如果他不自己刮胡子的话，他必须去找理发师。但他自己就是理发师，于是他变成了自己刮胡子的人。如果他给自己刮胡子的话，那就是理发师给他刮胡子，所以他应该去找理发师，而不应该给自己刮胡子。
我们可以用图2.1来表示理发师悖论。我们将所有村民这个集合分成两部分，看一看理发师应该位于左边还是右边。
图2.1 理发师在哪个子集里呢？
与说谎者悖论不同，理发师悖论的解决方案非常简单：符合这种描述的村庄是不存在的。它不可能存在，因为对它的描述隐藏着内在矛盾。我们对村民的描述在理发师身上施加了矛盾。既然真实的世界不可能有矛盾，这座村庄也就不会真正存在。奥地利的阿尔卑斯山区有许多其他村庄，但它们的情况都与之不同。这些村庄可能有两个互相刮胡子的理发师；可能有一名不需要刮胡子的女性理发师；还可能住着一些嬉皮士，胡子头发长得老长，根本不需要任何理发师。对其他村庄的这些描述是完全合理的，不会产生任何自相矛盾的结果。但罗素描述的村庄不可能存在。
还有一个机智的悖论涉及英语中的形容词，称作非自状悖论（heterolo-gical paradox）或格雷林悖论（Grelling’s paradox）。想一想English（意为“英语的”）这个词。English是一个英语词。然而相比之下，French（意为“法语的”）却不是一个法语词（它是一个英语词）。让我们将视线转向其他形容词，看看它们是如何指涉自身的：polysyllabic（意为“多音节的”）是多音节的。monosyllabic（意为“单音节的”）不是单音节的。pentasyllabic（意为“有五个音节的”）有五个音节。misspelled（意为“拼错的”）没有拼错。adjectival（意为“形容词性的”）是形容词性的。female（意为“雌性的”）不是雌性的。awkwardnessfull（意为“笨拙的，累赘的”）是笨拙、累赘的。unpronounceable（意为“无法发音的”）不是无法发音的。实际上，我们有两类形容词：一类是描述自身的，另一类是不描述自身的。所有描述自身的形容词都被称作是自状的（autological，来自希腊语单词auto和logos，前者意为“自己”或“自身的”，后者意为“词”、“言语”或“推论”；亦称homological）。相比之下，所有不描述自身的形容词都被称作是非自状的（heterological，来自希腊语单词heteros，意为“其他的”或“不同的”）。所以English、polysyllabic、adjectival等单词都是自状的形容词。相比之下，French、monosyllabic、unpronounceable等都是非自状的形容词。建立了这两个类群之后，我们现在可以提出下面这个问题：
heterological这个形容词是非自状的吗？
让我们假设非自状的是非自状的。那么参照：
English是英语的⇒English是自状的，
于是：
heterological是非自状的⇒heterological是自状的。
因此heterological不是非自状的。相比之下，如果我们一开始就采取相反的态度，认为heterological不是非自状的，那么只要我们参照：
French不是法语的⇒French是非自状的，
于是：
heterological不是非自状的⇒heterological是非自状的。
我们得到的结论是，当且仅当heterological这个词不是非自状的时候，它才是非自状的。哎呀！这真是个棘手的矛盾。
我们可以在图2.2中将这个自指悖论表示出来。
图2.2 heterological属于哪个子集？
这个悖论似乎也存在一个简单的解决方案：heterological这个词不存在，或者说即使这个词存在，它也没有任何意义。我们已经看到，如果有人定义了heterological，那么矛盾就会立即产生。为了解决这个矛盾，可以说这个词不存在，就像说理发师悖论中的村庄不存在一样。
然而，我们不能只是随便挥挥手，宣布heterological这个词不存在或者没有意义，就可以解决所有问题。这个问题深深地根植于语言的本质。与其关注heterological这个词，不如思考与它有关的一个形容词性短语，“与自身不符的”（not true of itself）。你只需要问一问“与自身不符的”是否符合自身。只有它不符合自身时，它才与自身符合。我们只需要假设“与自身不符的”不是合理的形容词性短语就万事大吉了吗？这个短语里的任何一个字都没有问题。和heterological这个词相比，这个短语没有任何类似的怪异之处。然而，当我们使用它时仍然会遭遇矛盾。
图书目录悖论（reference-book paradox）与非自状悖论非常相似。图书目录也是一种书，它按照不同的分类将一批图书罗列出来。图书目录有很多本，而且会列出许多不同类型的书。有的图书目录罗列的是古代典籍，有的是人类学图书，有的是关于挪威动物区系的图书等。有些图书目录会把自己也列出来。例如，如果有人要出版一本将有史以来出版过的所有图书都列出来的图书目录，它一定会将自己包括进来。还有一些图书目录不会将自己列出来。例如，关于挪威动物区系的图书目录就不会将自己列出来。设想一下，如果存在这样一本图书目录，它列出了所有不列出自己的图书目录。现在问问自己下面这个简单的问题：这本书列出自己吗？只需要稍微想一想就知道，只有在这本书不列出自己的时候，它才列出自己。我们的结论是，不可能存在这样的图书目录，令其内容符合这条规则。（关于这个悖论，也可以画出与图2.1和图2.2类似的图示，我把这个任务留给读者，试一试吧。）
伯特兰·罗素使用理发师悖论解释了一个更加严肃的悖论，即罗素悖论（Russell’s paradox）。它比我们见到的其他自指悖论更加抽象，很值得思考。假设存在不同的集合：所谓集合即由一系列对象组成的合集。某些集合只包括简单的元素，而某些集合包括其他集合。例如，一所学校可以看作是一个集合，由不同的年级组成，而每个年级也是一个集合，组成元素是该年级的学生。某些集合甚至包含自身。本书列出的所有集合构成的集合包含自身。元素数量超过5个的所有集合构成的集合包含自身。当然，也有很多集合不包含自身。例如，设想一下由所有红苹果构成的集合，它不包含自身，因为一个红苹果不是集合。罗素想让我们假设这样一个集合R，它包含了所有不包含自身的集合。现在提出下面这个问题：
R包含自身吗？
如果R的确包含自身，那么根据R的定义，它不会被R包含。另一方面，如果R不包含自身，那么它满足属于R的条件，因此包含在R内。我们推出了矛盾。这种情形可以用图2.3表示。
图2.3 集合R属于哪个集合？
通常情况下，这一悖论的“解决”方案是假定集合R不存在，也就是说，由所有不包含自身的集合组成的集合不是一个合法的集合。如果你要讨论这个不合法的集合，你就是在超越理性的束缚。但是我们为什么不能讨论集合R呢？它对构成自身的对象进行了完美无瑕的描述，找不出一丁点问题。它看上去当然很像是个合法的集合。然而为了根除矛盾，我们必须约束自己。对于每一种清晰的描述而言，符合这种描述的所有事物都能组成一个集合，这种显而易见（而且似乎非常合理）的观念不再那么显而易见（或者合情合理）。对于“红色的东西”这种清晰的描述，存在一个包含所有红色东西的集合。然而，对于“所有不包含自身的集合”这样看似清晰的描述，却不存在符合这一性质的集合。我们必须调整我们的认知，重新审视哪些事物是显而易见的。
说谎者悖论可以概括成一句话：
这个句子是假的。
它还可以概括成下列描述：
一个否定自身的句子。
类似地，其他4种自指悖论可以概括成下列4种描述：
●“给所有不自己刮胡子的村民刮胡子的村民。”
●“描述所有不描述自身的词汇的词。”
●“列出所有不列出自身的图书的图书目录。”
●“包含所有不包含自身的集合的集合。”
如你所见，所有这些描述都拥有完全一样的结构（亦如图2.1至图2.3所示）。每次存在自我指涉，都会有产生矛盾的可能。这些矛盾必须避免，因此需要对此进行限制。我们会在整本书里探讨这样的限制。
在开始下一节之前，还有一个有趣的结果需要我们进一步思索。你可能会认为每一种语言悖论都有某种程度的自我指涉。也就是说，一定存在某种返回起点的环状推理链条。这曾经是普遍观念，直到斯蒂芬·亚布罗（Stephen Yablo）提出了一个机智的悖论，名叫亚布罗悖论（Yablo’s paradox）。思考由下列句子组成的无穷序列：
K1对所有i>1，Ki为假
K2对所有i>2，Ki为假
K3对所有i>3，Ki为假
…
Km对所有i>m，Ki为假
Km+1对所有i>m+1，Ki为假…
Kn对所有i>n，Ki为假
…
每个句子都声称所有后来的句子为假。注意，没有任何一个句子指涉自身，这一长串链条也不会返回自身的起点。然而矛盾依然存在，因为我们不能说任何一个句子是真的或是假的。设想某一数值m，并假设Km为真。Km声称Km+1，Km+2，Km+3…都为假。将其分开，我们得到Km+1为假，而Km+2，Km+3…都为假。然而Km+1声称所有Km+2，Km+3…都为假，也就意味着Km+1为真。因此，通过假设Km为真，针对Km+1的真假状态，我们得到了矛盾。图2.4表示了这一过程。
图2.4 亚布罗悖论——假设为真
相反，对于任意数字m，我们假设Km为假。那就意味着若n>m，并非所有的Kn都为假，至少存在一个大于m的n令Kn为真。但是我们看到如果Kn为真，我们就会得到图2.5所表示的矛盾。
图2.5 亚布罗悖论——假设为假
无论我们假设任意一个Km为真或为假，我们都会得到矛盾。这是一种不含自我指涉的矛盾。
女权主义者对这个困境的主张是，让理发师的妻子给理发师刮胡子。这只是女性千百年来众多得不到承认的丰功伟绩之一。她将男人们从矛盾的深渊里拽出来了！
因为femle在这里是形容词，本身不会有雌雄概念。
因为这个合成词的拼写不符合规范，十分累赘。
我们将在第4章第4节再次遇到这个悖论。
描述数字的语言
数字是我们拥有的最精确的概念。关于42这个数字，不存在任何模糊不清、难以确定之处。它不是一个主观概念，否则每个人对42究竟是什么都会有自己的概念。然而我们将会看到，即使是对数字概念的描述也依然存在问题。先讲一个小故事。20世纪初，数学家G.H.哈迪（G.H.Hardy，1877—1947）前去拜访自己的朋友兼搭档，天才的斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）。哈迪写道：“我记得有一次他在帕特尼生病时，我去看望他。我是坐出租车去的，那辆出租车的编号是1729，我跟他说在我看来这个数字相当无趣，还说但愿这不是什么不好的兆头。‘不，’他回答道，‘这是个非常有趣的数字；它是能够用两种方式表示成两个自然数立方之和的最小的数字。’”详细地说，1729等于13+123，也等于93+103。既然1729是能够用如此方式表示出来的最小的数字，那么1729就是一个“有趣的”数字了。
这个故事揭示了有趣数悖论（interesting-number paradox）。让我们逐个浏览一些比较小的整数。1是有趣的，因为它是第一个正整数。2是第一个质数。3是第一个奇质数。4这个数字的有趣之处在于2×2=4=2+2。5是质数。6是完全数，即某个数的因数之和等于它自身（例如6=1×2×3=1+2+3，等等）。开头的这些数字都有着有趣的性质。任何没有有趣性质的数都应该被称为“无趣数”。最小的无趣数是什么？最小的无趣数是个有趣的数字。我们陷入了窘境。
这里出了什么差错？矛盾之所以诞生，是因为我们认为我们可以将所有数字分成两类：有趣的数字和无趣的数字。这是错的。并不存在某种方法来定义什么是有趣的数字。这是个模糊的陈述，我们不能说某个数字在什么时候是有趣的，在什么时候是无趣的。“有趣”是某个人在理解某件事之后产生的感觉，因此是一种主观性质。我们不能从这样的主观性质中得到悖论。
贝里悖论（Berry paradox）是一项更严肃也更有关联的悖论。理解这一悖论的关键是，通常来说，英语里某个短语中使用的单词数量越多，它能够表示的数字就越大。可以用一个词表示的最大的数字是90（ninety）。91（ninety one）需要不止一个单词。两个单词可以表示出90万亿（ninety trillion）。90万亿零1是此后所有必须用超过两个单词表示的数字中的第一个。三个单词可以表示出90万亿个万亿（ninety trillion trillion）。下一个数字（90万亿个万亿零1）需要超过三个单词表示。相似地，单词中的字母越多，能够描述的数字就越大。三个字母就能描述数字10（ten），但是描述不了11（eleven）。
让我们专注于单词的数量，并将描述数字且英语单词数量少于11个的短语称为贝里短语（Berry phrase）。现在思考下面这个短语：
the least number not expressible in fewer than eleven words（使用少于11个单词便无法描述出来的最小的数字）。
这个短语有10个单词，所以它应该是一个贝里短语。然而看一看它所描述的数字吧。这个数字应该是无法用少于11个单词描述的。这个数字可以用11个或更少的单词描述出来吗？这可真是个货真价实的矛盾。
我们还可以探讨表示语言复杂程度的其他衡量标准。思考
the least number not expressible in fewer than fifty syllable（使用少于50个音节便无法描述出来的最小的数字）
这个短语的音节少于50个。另一个短语
the least number not expressible in fewer than sixty letters（使用少于60个字母便无法描述出来的最小的数字）
拥有59个字母。这些描述是否描述了数字呢？如果它们的确描述了数字，那它们描述的是哪些数字呢？当且仅当它们不描述某一特定数字的时候，它们才描述了这一数字。但是为什么不呢？每个短语看上去都是非常合适的修饰性短语。
还有一个有趣的悖论和描述数字有关，它就是理查德悖论（Richard’s paradox）。某些短语描述的是0和1之间的实数。例如：
●“π减去3”=0.14159。
●“掷骰子时得到数字3的概率”=1/6。
●“π除以4”=0.785。
●“0和1之间的实数，按照十进制展开为0.55555”=0.55555。
我们将所有此类短语称为理查德短语（Richard phrases）。我们即将描述一个能推导出悖论的句子。但是在直接给出这个长句子之前，让我们先一步一步来。思考下面这个短语：
位于0和1之间的实数，且不同于任何理查德短语。
如果这个短语描述了某个数字，它就会成为悖论，因为它描述了数字，然而又不是理查德短语。然而，有很多实数不同于任何理查德短语。它是哪一个呢？问题出在上面的短语并不真的描述任何一个确切的数字。让我们试着更精确一些。理查德短语构成的集合是所有短语的子集，因此它们可以像电话簿里的名字一样编号排序。我们可以先给所有包含1个单词的理查德短语排序，再给2个单词的短语排序，依次类推。拥有这样一张编号清单之后，我们就可以指定第n个理查德短语了。现在思考下面这个短语：
位于0和1之间的实数，其第n位数字不等于第n个理查德短语的第n位数字。
这个短语只是展示了这个数字如何不同于所有理查德短语，但它仍然没有描述一个确切的数字。第42个理查德短语描述的数字在第42位上的数字可能是8，因此我们知道上述短语描述的数字在第42位上不能是8。但是这个数字应该是9或是6吗？让我们明确一下：
位于0和1之间的实数，其第n位数字等于9减去第n个理查德短语的第n位数字。
也就是说，如果相应的第n个理查德短语的第n位数字是5，那么这个短语描述的数字的第n位数字就是4。如果相应的第n位数字是8，这个第n位数字就是1。如果相应的第n位数字是9，这个第n位数字就是0。这个短语是个合情合理的短语，并且精确地描述了一个位于0和1之间的数字，然而它又和每一个理查德短语不同。当且仅当它不描述某个数字时，它才描述某个数字。这可怎么办呢？
最后这两个悖论可以看成自指悖论。在某种程度上，它们可以总结成下面两句描述：
●“和所有贝里短语都不同的贝里短语。”
●“和所有理查德短语都不同的理查德短语。”
从这个角度出发，它们只不过是说谎者悖论的简单延伸。自我指涉十分常见，我们必须小心对待。
Hardy（1999，12）。
迈克尔·巴尔（Michael Barr）向我指出，只有在仅限于正整数的情况下，1729才是满足该条件的第一个数字。如果允许负整数出现，那么91=63+（–5）3=43+33。
我们将在第3章第3节中再次遇到模糊词汇。
阅读第4章第3节后，理查德悖论就会容易理解得多。