我要设计一个“妞妞数列”，让我们的数学老师大吃一惊！
今天天气非常好，碧空如洗，微风吹拂。北京的秋天是她最美的季节。妞妞下午三点就回到了家里，因为今天是星期二，学校放学早，加上妞妞肚子里有好多的问题要问爸爸，等不到爸爸下班，书包一扔，妞妞就打通了爸爸的电话。
“爸爸，昨天的计算我做了5组10个数，真是神奇耶！确实等于第7个数的11倍。你是如何发现的呀？”
“爸爸并不是自己发现的，是爸爸学习别人的发现才知道的。现在，爸爸在上班，时间不会太多，不过我今天也可以早些回家，而且已经为你准备了今天的趣味数学话题了。”爸爸的声音里都带着微笑。
爸爸一回家，妞妞放下手头的作业，就要爸爸开始讲。
“我们还是先继续昨天的话题，说说兔子数列的特点吧。你看，它从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。比如，第六项是8，8×8=64，而8的前后两项是5和13，5×13=65，64刚好比65少1，这是偶数项。13×13=169，而8×21=168，169刚好比168多1。13是第七项，奇数项。”
妞妞试了21这个数，她写道：21×21=441，而13×34=442，441刚好比442少1！太神奇了！
爸爸接着说：“这实际上是很容易证明的，但是证明你可能还不能听懂，需要用到数列的数学表达式。
“如果设F（n）为该数列的第n项（n是自然数）。那么兔子数列可以写成如下形式：
F（1）=F（2）=1，
F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3）。
“显然这是一个线性递归数列。而经过一些简单的证明我们还有一个复杂得多，但是更加有用的通项的表达式：
“其中读根号5，表示是平方得5的那个数字。这是一个无理数。
“从这个表达式里面我们能看到最有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。”
妞妞有些皱眉头，“爸爸，我有些不明白。线性递归是什么呀？根号我都没学过！”
“好吧，线性递归简单说就是用数列本身项之间的关系来表达自己。前面说过的分形，就是递归最好的例子，自己和自己相似。”
爸爸想了想，让孩子明白递归函数有些困难，于是爸爸说：“递归的数学表达不明白也没关系。简单地说吧，用后边这个表达式可以很容易证明F（n）2和F（n-1）×F（n+1）之间的关系。”
妞妞还是摇头，“明天我来试试算一算吧。”
爸爸说：“那我们再说另外一个神奇的巧合吧。你知道杨辉三角吗？”说着，在一张纸上写下了以下数字。
“你看，”爸爸拿起笔，画了几条斜线，“它们的和刚好是兔子数列！”
“杨辉三角好像是多项式（a+b）n打开括号后的各个项的系数。这怎么也和兔子数列有关系呢？太不可思议了！”
爸爸点点头，心里暗暗高兴。这也是爸爸给孩子讲趣味数学的目的，希望这些奇妙的东西能够引起孩子对数学的兴趣，进而对知识、对学习产生兴趣。学习本来就应该是件有趣的事情。
“妞妞知道了一些兔子的数学了，现在爸爸要讲讲其他动物的数学才能怎么样？”
“动物还有数学才能？”妞妞不信。
“有哇！说不定有些方面比人类还强呐！”爸爸笑着说。
“知道吗？蜜蜂的蜂房是严格的正六边柱状体。它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109°28'，锐角为70°32'。经过科学家的计算，这样的设计既坚固又省料，是最优选择，而且蜂房的巢壁厚0.073毫米，精度都不是人类手工能达到的。”
“是吗？蜜蜂可真了不起。它们可没有量角器，也没有直尺啊！”妞妞心里想着那些忙碌的小小飞行精灵。
“苍蝇的眼睛是由4000个可独立成像的单眼构成的复眼，能看清几乎360°范围内的所有物体。小单眼的构造非常精巧，它的顶端是一个正六边形凸镜，下面连着圆锥形的晶状体，这些“集光器”下面连接着苍蝇的视觉神经。正六边形是可以获得最大类球形物体表面积的方案。苍蝇正是靠这样精致的复眼，才获得比人眼好得多的视力。科学实验表明，人看清一个物体需要0.05秒，而苍蝇只要0.01秒就能看清，比我们人类快五倍耶！而且众多的‘小眼’从不同的视角扫描，经视中枢分析能很快确定目标位置和速度，对运动着的目标有极好的探测和跟踪本领。”
苍蝇的复眼显微图
“恶心的苍蝇身上居然也有数学？”妞妞很明显不太欣赏爸爸的这个例子。
“实际上昆虫大多有复眼，比如，蜻蜓、蚂蚱、蜜蜂，等等。”爸爸接着说。
“那我们下次还是说蜜蜂这样可爱的动物吧！”妞妞说。
“下面有可爱的动物啊！美丽的丹顶鹤在春天秋天总是成群结队迁飞。它们很守纪律，严格地排成“人”字形飞翔。由年轻力壮的轮流担当领头鹤。“人”字形的角度总是110°左右。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——每边与鹤群前进方向的夹角为54°44'8″！金刚石是钻石的原石，而金刚石结晶体的面夹角正好也是54°44'8″！你觉得这仅仅是种巧合还是某种大自然的秘密？”
“看来这个角度有些神奇的东西我们还不知道。”妞妞心里想钻石和丹顶鹤都是好美的东西，它们懂数学还是很让人舒服的事。
“小猫咪睡觉时总喜欢把身体抱成一个球形，这中间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少，也就最保暖。刺猬受到攻击的时候也会把自己卷成一个球，把刺都竖起来。这个好不好玩？”
“真好玩！”妞妞咂咂嘴，好像吃到了美味。“鸡蛋是扁圆的，我用两个手指头捏住两头，不管如何使劲都捏不破，是不是数学？”
“妞妞的问题可真让爸爸高兴。”爸爸惊讶于孩子丰富的联想，“鸡蛋是不规则的椭圆形。不规则是为了防止它滚得太远，而椭圆蛋壳是最省料又最坚固的设计方案。你可知道我们人类在建设体育馆、机场等大跨度屋顶的时候，学习的就是鸡蛋壳的原理。”
“既然滚不远，那为什么还要说滚蛋呢？”妞妞说完，眼神古怪地看着爸爸，两人不约而同地放声大笑。
“可能是说你千万别走远的意思！”爸爸和妞妞会心一笑。妞妞从小拿筷子都拿得很靠上，照奶奶的说法，小孩将来会远行。这句话也只有他们父女两个心里明白。
“真正的数学‘天才’是珊瑚虫，每天都写下‘成长日记’——生长层。它们每年在自己的体壁上‘刻画’出365条斑纹。夏天的生长层宽，冬天的生长层窄，就像树木的年轮。不过它们可比树木长寿得多，而且留存更容易，所以可以记载远古的事情。奇怪的是，古生物学家发现史前珊瑚虫的‘成长日记’写的明显密集。经过科学分析，三亿五千万年前珊瑚虫每年要‘画’出400条‘水彩线’。天文学家据此确定，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。按此进行推算，13亿年前，一年是507天。珊瑚虫是证明地球自转变慢的重要证虫。”爸爸和妞妞还在笑。
“噢，原来地球自转在变慢啊！”妞妞的笑容稍稍收回来一点。
“是呀，”爸爸接着说，“人们已经发现每一百年，我们每一天的时间长度大约增长1~2毫秒，而引起的主要原因是潮汐摩擦。”
“哎，老师布置的作业太多，也是每天变慢的重要原因。”妞妞学校的老师习惯于布置大量的家庭作业，有时候孩子要忙到11点多才能做完。没有时间听爸爸讲更多的有趣故事，也不能自己看喜欢的课外书，妞妞和她的同学们都很失落。
“好吧，那我们再说一道有趣的图形题目。你到爸爸的书桌上去拿一张图，好吗？”
“是这张带箭头的花格子图吗？”妞妞发现爸爸桌子上有一张图。
“对，某人把一个边长分别为5和13的直角三角形，就是上面的那个三角形，拆散打乱之后，重新拼成一个同样形状的三角形，就是下面的这个三角形。让他十分吃惊的是似乎多出一个方块不能覆盖，为什么会这样呢？这可能吗？”
妞妞仔细地看，认真地想，在纸上写道：
而S1+S2+S3+S4=5+12+7+8=32。
妞妞一脸的迷惑，慢慢地说，“好像它们不能这样拆分开！”妞妞用小手指着箭头的这两个点，“好像这个地方并不是格子的相交点。”
“太好了！”尽管妞妞低着头没看见，爸爸脸上的微笑变得更加灿烂。“其实这就是利用了斐波那契数列的性质：2，3，5，8，13都是数列中的项。如果线条通过格子点，那么考察直角三角形的底边和侧边的边长之比就应该是一样的。
上面那个点是由于3:5和8:13之间的相差很小，弦线擦点而过。不精确的作图使人误以为刚好通过了这个点。还记得吗？它们都是黄金分割的近似值。下面这个点是因为2:5与5:13近似，很容易把它误认为是通过了你指的那个格点。事实上它是在点下面一些通过的，两个三角形S1、S2的面积和S3区域的面积多算了，一般人不仔细是不容易注意到的。”
“原来是这样，我还得好好想想。”妞妞放下了笔。
做完了这道题，两人谈话的时间已经将近两小时了，爸爸觉得今天的话题已经非常丰富了，对妞妞说：“其实如果任意挑两个数为起始，比如，5，-2.4，然后两项相加作为第三项，一直这样相加下去，形成5，-2.4，2.6，0.2，2.8，3，5.8，8.8，14.6，…这样的数列。你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割数，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。要是不信你可以自己试一试。这就算是给你留的作业吧！”
“那我要设计一个‘妞妞数列’，让我们的数学老师大吃一惊！”