据统计，现在勾股定理的证明方法有近四百种，其中有一位证明者还是美国第二十任总统加菲尔德。他的证明也很简洁。
答应孩子要讲讲勾股定理的各种奇葩证明已经大半年了。遗憾的是这段时间爸爸非常繁忙，周末不是开会就是出差，常常是早出晚归，和孩子见不上几分钟面，说不上几句话。孩子越来越懂事，身高都到了一米七了，平时住校，周末在家。好在学习成绩优秀，尤其是数学和英语的学习积极性超强。
今天是周末，爸爸放下所有工作在家，因为这一天也是爸爸的生日，孩子早就说全家人这个周末一定要在一起的。
爸爸今天准备的菜谱是水发云南鸡枞菇、红烧金昌鱼、蒜子豆腐和豇豆肉末，再加上一个海带大酱汤，都是家人喜欢吃的东西。
妞妞给爸爸精心挑选了一个贺卡，贺卡正面是一只憨态可掬的烫金喜羊羊，贺卡上写着“爸爸生日快乐Happy Birthday”两行字。爸爸心里暖暖的。
一家人有说有笑吃完饭，爸爸就把孩子带到书房，这里爸爸早就准备好了几张图。爸爸指着第一张说：“勾股定理是你们学数学遇到的第一个重要的数学公式，西方人叫毕达哥拉斯定理。据说是公元前五百多年前的古希腊数学家毕达哥拉斯在观察地砖的时候找到的证明，之后杀牛百头，盛宴庆祝，全城狂欢。不过中国人在更早的时候，至少在公元前1100年前就知道勾三股四弦五，但是缺乏证明，一直到公元3世纪才有一个证明。”
“怎么证明的？”
“你看，两个全等的正方形，除掉同样大小的四个三角形后，面积应该相等。”
爸爸的两张图上都有正方形，分别除掉四个三角形。一个剩下小一些的正方形，另外一个剩下两个不同大小的正方形。
“一个面积是c2，一个面积是a2+b2。好简单啊！”
妞妞的手指在图上画来画去。
“对啊，这是三国时吴国数学家赵君卿的证明。你们的教科书上经常使用的是毕达哥拉斯方法。”爸爸拿出第二张图。这张图要复杂得多。
“我们可以很容易地证明△DAC和△BAI全等，边角边。”爸爸看着妞妞，“对吧？这样的话△DAC面积就是正方形DABE的一半，也等于△BAI的面积，也等于矩形AKJI的面积的一半。这样就证明了正方形DABE和矩形AKJI面积相等。同样可以证明正方形BFGC面积等于矩形CKJH，也就是说直角三角形直角边上的两个正方形面积之和等于斜边上正方形面积，也就证明了勾股定理。”
妞妞点点头，在纸上写下a2+b2=c2。
“据统计，现在勾股定理的证明方法有近四百种，其中有一位证明者还是美国第二十任总统加菲尔德。他的证明也很简洁。”爸爸拿出第三张图。
“一个等边直角三角形向下形成一个直角梯形。容易证明△ADB和△BEC全等，所以这个梯形的面积就可以有两种表达方法，一是梯形面积公式，二是三个直角三角形面积之和。我们有如下等式：
展开化简就得到了a2+b2=c2。”
“这个证明确实也很简单！”
“是啊，其实这个证明完全可以和赵君卿的证明等价，你看。”爸爸拿出第四张图。
“如果在一个正方形中放一个小正方形，使小正方形的四角和大正方形各边相交。很简单可以证明四个三角形全等。我们可以设三角形三边分别是a、b、c。我们对正方形的面积有两种计算方法，一是直接使用正方形面积公式，二是分别计算四个三角形和小正方形面积之和。”
爸爸一边说一边在纸上写下如下计算：
化简就能得到。
“总统的发现只是把这个图去掉一半还可以证明勾股定理而已，是不是很有趣？”
“去掉一半还是不变，好神奇！连等式都是一半！”
爸爸微笑着看着妞妞。“有的数学家说勾股定理可以不需要数学证明，只需要用拼图就可以证明。他们的证明是这样的。”爸爸一边说，一边拿出一张图。
“用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，然后移动成这样。就证明了两个小正方形面积之和等于大正方形面积。”
妞妞眼睛睁得好大，“这也算证明吗？”
“当然，这种证明尽管缺乏严格的数学语言，但是也是一种初等数学中的证明方法。”
“哦，这样啊！我们的几何思考题中还有用圆规、直尺等分角的题，是不是一样的意思啊？”
“是啊，初等几何中使用工具或是画图直接证明命题是可以接受的，实际上也很容易用严格的数学语言来描述。”
妞妞点点头，看得出不用写长长的证明过程这一点很吸引她。
“勾股定理的扩展很有意思，比如，在三维空间中我们也有立方体的三条边和对角线的类似定理：a2+b2+c2=d2。”爸爸拿出一张立方体图给妞妞看。“你能证明它吗？”
妞妞想了一会儿，“这个好像比较简单。在这个平面用勾股定理假设这条对角线长为t。就有a2+b2=t2。然后在这个矩形中用勾股定理，又有t2+c2=d2，代入就有了a2+b2+c2=d2。”
“对，最后一个三角形是直角三角形需要一点点证明，不过这是高中的内容，也不复杂。你的证明是正确的。我们还有一种扩展勾股定理的方法。如果我们把勾股定理看成是三条边上三个正方形面积之间的关系，那么我们就可以考虑各边上的正三角形、正五边形、正六边形的面积是不是还是这种关系。”
爸爸再拿出一张图，直角三角形的三条边上画了等边三角形、正方形、正五边形。
“我猜他们也符合直角边上的两个图形面积和等于斜边上相应图形的面积。”
“是的，这个证明起来就比较容易了。只需要你能用边长表达面积就成功了。”爸爸拿出自己的最后一张图，“最后要给你讲的扩展稍微复杂一些，不过也好理解。你看！”爸爸指着图接着说，“这是一个多边形A1A2A3…，中间任意一个点O向各个边做垂线，交于B1B2B3…，我们有。勾股定理只是这个等式的直角三角形特例。妞妞能想想如何证明吗？”
妞妞想了好一会儿，从O点到每一个顶点都拉了一条线。“对每一个直角三角形都使用勾股定理，循环联立，消掉同类项可以证明。”
爸爸非常开心，“妞妞的观察和推理的能力确实很棒！最后咱们稍微说说勾股数就结束今天的趣味数学。勾股数也就是满足勾股定理的正整数组。3、4、5自然不必多说，类似就有6、8、10，9、12、15，等等，这都不足为奇，只能算一组。5、12、13可以算另外一组；8、15、17一组；7、24、25一组；20、21、29一组。妞妞能再发现几组吗？”