我们所考虑的两群之间的关系与两群中
任何个体本身的本质完全无关。这便是抽象推理中非常显著
的功绩。人类要达到这一步必然花去了不少的岁月。在漫长
的时间中，一堆堆的鱼必须互相比出一个多少，一段一段的
日子也要作出一个比较。但首先注意到７条鱼和７天之间的
共同点的人必然使思想史进了一大步。他是第一个具有纯数
学观念的人。当时他一定还不可能看出有待发现的抽象数学
观念的复杂性与微妙性，也一定料想不到这些观念会在往后
的每一个世纪中发生广泛的吸引力。学术界有一个错误的传
统，认为对数学的爱好是一种怪癖，每一个时代只有少数的
怪人才有这种怪癖。情形尽管是这样，但抽象思维在古代的
社会里是找不到类似例子的。因此，从这里面所能得到的乐
趣也是难以估计的。第三，数学知识对人类的生活、日常事
务、传统思想以及整个的社会组织等等都将发生巨大的影响，
这一点更是完全出乎早期思想家的意料之外了。甚至一直到
现在，数学作为思想史中的一个要素来说，实际上应占什么
地位，人们的理解也还是摇摆不定的。假如有人说；编著一
部思想史而不深刻研究每一个时代的数学概念，就等于是在
“汉姆雷特”这一剧本中去掉了汉姆雷特这一角色。这种说法
也许太过份了，我不愿说得这样过火。但这样做却肯定地等
于是把奥菲莉这一角色去掉了。这个比喻是非常确切的。奥
菲莉对整个剧情来说，是非常重要的，她非常迷人，同时又
有一点疯疯癫癫。我们不妨认为数学的研究是人类性灵的一
种神圣的疯癫，是对咄咄逼人的世事的一种逃避。
当我们想到数学时，心里便出现一种专门探讨数、量、几
何等等的科学。近代数学还包括许多更抽象的序数概念以及
纯逻辑关系的类似型式的研究等等。数学的特点是：我们在
这里面可以完全摆脱特殊事例，甚至可以摆脱任何一类特殊
的实有。因此并没有只能应用于鱼、石头或颜色的数学真理。
当你研究纯数学时，你便处在完全、绝对的抽象领域里。你
所说的一切不过是：理性坚信任何实有如果具有能满足某某
纯抽象条件的关系，就必然也具有能满足另一件纯抽象条件
的关系。
数学被认为是在完全抽象的领域里活动的科学，它和自
身所研究的任何特殊事例都脱离了关系。这种数学观还不太
明确，所以我们可以相信，一直到现在这种看法还不能为一
般人所了解。举个例来说，一般人在习惯上都认为我们对实
际宇宙空间的几何知识的肯定性所根据的理由就是数学的肯
定性。这一幻觉在过去曾引起过许多哲学思维，到现在也仍
然能引起一些哲学思维。几何问题是一个相当重要的测验。对
于许多群未定的实有说来，有好几套不同的纯抽象条件都可
以成为这些群之间的关系。我把这些条件称为·几·何·条·件。我
们在自身对于自然界的直接感觉中可以观察到事物之间具有
某种几何关系。上述的抽象条件中有某些条件被认为是可以
适用这种特殊几何关系的。而其他各种抽象条件一般说来又
都类似这种条件，因此我便通称之为几何条件。但我们这种
观察还不够准确。所以关于我们在自然界中所见到的事物，究
竟受着什么样的条件控制，也知道得不够确切。但我们只要
把假说稍微引伸一下，就能使这些被观察到的条件符合某一
套完全抽象的几何条件。这类未定实有原先在抽象科学中本
只是一些单纯的叙述。但这样一来，我们就对它作出了某种
特殊的决定。在关于几何关系的纯数学中，如果·任·何一群实
有在本群各单位之间所具有的·任·何关系能满足·某·一套抽象的
几何条件，则某种性质的附加抽象条件一定也能符合这种关
系。但当我们讨论物理空间时，便会说某群被确定地观察到
的物理实有在本群各实有之间具有某种被确定地观察到的关
系，这种关系能满足上述的一套抽象几何条件。因此我们就
作出结论说：如果某种附加关系被认定能符合·任·何这类情形，
就一定能符合·这·一·特·殊·情·形。
数学的肯定性建筑在它完全抽象的一般性上。我们相信
实际世界中被观察到的实有能成为我们普遍推理过程中的一
个特殊事例，但我们并没有先天的肯定性可以认为这种信念
是对的。不妨再举一个算术中的例子来看：纯数学中有一条
普遍的抽象真理，认为任何包含４０个实有的一群可以分为包
含２０个实有的两群。因此我们便有根据认为，如果某堆苹果
包含４０个个体，便可以分成两堆，每堆中包含２０个个体。但
我们把４０个那一堆数错的可能是常有的，所以实际上分的时
候就可能有一堆多一个，另一堆少一个。
因此，当我们评述一种理论时，如果它的基础是把数学
应用在特殊的实际事例上，我们心中便应当把以下三种过程
完全记清楚。首先我们必须细细地检查一下纯数学的推理，验
明它没有漏洞，没有因为偶然疏忽而产生的不合逻辑的地方。
任何数学家都能从本身痛苦的经验中认识到，开始拟定一系
列推理过程时很容易发生一点极微小的错误，后来却因此而
差之毫厘、谬以千里。但当一种数学推论已经检验过，并且
在专家们之前考验过一个时期之后，偶然的错误是不大可能
发生的。接着，第二个过程是，确实肯定一下，这个推论所
预先假定的抽象条件是否可以成立。这就是把数学推论开始
的抽象前提确定一下。这一过程是相当困难的。以往曾经发
生过极其显然的疏忽，而且这些竟被许多最伟大的数学家历
代相沿地接受下来了。这里面最大的危险就是疏忽；也就是
说，在不知不觉之间引入某些我们认为自然应当事先设定的
条件，然而事实上这些条件却不一定都能成立。在这一方面
还存在着一个相反的疏忽，这种疏忽倒不会造成错误，只是
会使推理复杂化。也就是说，必要的假设条件很容易被估计
得多于实际的要求。换句话说，我们可能认为某些抽象的假
设是必要的，但实际上却可以从其他已有的假设上证明出来。
抽象的假设提得过多，唯一的效果就是使我们在数学推理中
减少审美方面的乐趣，并且会给第三个评述过程造成麻烦。
第三个评述过程是验证我们的抽象假设在当前的特殊事
例中是否能成立。一切的麻烦都是从这个验证特殊事例的过
程中产生的。在数４０个苹果这种简单的事例中，只要稍加留
心就可以在实际上达到肯定的程度。但一般说来，在十分复
杂的事例上就不可能达到完全肯定的程度。为这一问题而写
的书籍简直是汗牛充栋。但这是对立的哲学家交锋的战场。这
里面牵涉到两个不同的问题。一方面是我们已经观察到了某
些确定的东西，同时我们又要确实弄明白这些东西之间的关
系的确服从于某些固定的严格抽象条件。这儿发生错误的可
能性就非常大了。一切严格的科学观察法都只是一些措施，为
的是减少这些关于直接事实的错误。但这儿又产生了另一个
问题：被直接观察到的事物几乎永远只是一些例子。我们所
要作的结论是：某些抽象条件如果在例证中能成立，那么在
其他一切由于某种理由而被认为是属于同一类型的实有中也
都能成立。这种由例证而推论及全体的推理过程就叫归纳法。
归纳法的理论是哲学上无法处理的东西，然而我们的一切行
为又都以这种理论为基础。总而言之，当我们评述一件特殊
实际事物的数学结论时，真正的困难在于找出被牵涉到的抽
象假设，并对它能否适用于当前的特殊事例的证据加以估价。
因此，我们常常看到，在评述一部造诣极深的应用数学
书籍或一篇论文时，一切的麻烦就在于第一章上，甚至于就
在第一页上。因为正是在这个刚一开始的地方，作者很可能
在假设上有失误。同时，麻烦还不在于作者说了一些什么，而
在于他没有说的是什么；不在于他明确了的假设，而在于他
不知不觉地作出的假设。我们并不怀疑作者的诚实，这里所
批评的是他自作聪明的地方。每一代人都批评上一代所作的
非意识的假设。人们也可能同意这种假设，但却不能让它停
留在非意识阶段，而要把它揭示出来。
语言发展史可以说明这一问题。这种历史是观念分析不
断进展的历史。