这个公式可按另一条命题逻辑的定律变形如下:(19)
如果S属于所有C并且P属于无一C,那么如果R属于所有S,则P不属于有些R。
对这公式可应用第二条存在量词的规则。
因为C是在(19)
的前件中出现的一个自由变项,但不在后件中出现。
根据这条规则,我们可得断定命题:(20)如果有一个C使得S属于所有C并且P属于无一C,那么如果R属于所有S,则P不属于有些R。
从前提(15)和断定命题(20)
,由假言三段论得出后件:(21)如果P不属于有些S那么如果R属于所有S,则P不属于有些R。
而这就是Bocardo式的蕴涵形式。
当然,亚里士多德看到这个推演的所有步骤是极不可能的;但知道这一点是重要的,即他对于显示法证明的直观是对的。
亚历山大对这个Bocardo式的证明的注释是值得引证的。
他说:“证明这个式,不必假定某个由知觉提供的、单一的S,而采用P不属于它的那样一个S,这是可能的。
因为P不属于这个S,而R属于所有这个S,而这两个前提的组合产生结论,P不属于有些R“。
①在这里,亚历山大终于承认了显示词可以是普遍的。
①亚历山大104。
3。
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89第三章 亚里士多德三段论系统
显示法证明对于亚里士多德的三段论理论的系统来说没有什么重要性,所有由显示法证明的定理都能由换位法或归谬法加以证明。
但是它们本身却是极重要的,因为它们包含了一个新的逻辑因素,亚里士多德对于它的意义并不是完全明白的。
或许这就是亚里士多德为什么在他的《前分析篇》第一卷的总结性的一章中(即第七章,他在此章中总括了他的三段论的系统研究)
,除掉了这一类的证明。
①在他之后没有人懂得这些证明。
它留待现代形式逻辑用存在量词的观念来解释它们。
20。排斥的形式A亚里士多德在其三段论形式的系统研究中不仅证明了真的而且也指出了所有其它那些假的和必须排斥的形式。
让我们借助于一个例子来看亚里士多德如何排斥假的三段论形式。
下面两个前提已经给定:A属于所有B并且B属于无一C。
这是第一格:A是第一个词项或大项,B是中项,而C是最后一个词项或小项。
亚里士多德写道:“如果第一个词项属于所有中项,而中项不属于最后一个词项,就没有两端项的三段论;因为没有什么东西必然随着如此关联的词项而来;因为第一个词项应属于最后一个词项
①参看亚历山大的注释,他始终坚持他认为显示法证明的感觉性质的看法。
12。
3“显示法证明带有感觉的性质,而不带有三段论的性质,从下面这一点可以明显看出来:他本人在任何地方都没有像提到三段论所得到的东西那样地提到它们”。
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20。排斥的形式A 99
的所有分子以及不属于最后一个词项的任何分子都是可能的,所以特称结论与全称结论都不是必然的。
但如果借助于这些前提没有必然的结论,就不能有三段论。
属于所有分子的词项如:动物,人,马;不属于任何分子的词项如:动物,人,石头。“
①
与显示法证明的简短和隐晦相比,上面这一段是相当充分和清楚的。
然而,我恐怕它并没有被注释家们恰当地了解。
按照亚历山大的意见,亚里士多德在这一段中表明从前提的同样组合,对于某些具体词项可以引出(canbederived,σFαDμ∈σαDγσθαι)全称肯定结论,而对于另一些具体词F J F M项,可以引出全称否定结论。
亚历山大断定,这就是那样的前提的组合不具有三段论力量的最明显的标志,因为彼此推翻的反对和矛盾的命题都由它加以证明(σιD αι)。
②亚历山M G F E大所说的,的确使人迷误,因为从前提的非三段论式的(asylClogistic)组合不能形式地推导出任何东西,而且也不能证明任何东西。
此外,具有不同具体主项和谓项的命题既不彼此反对也不互相矛盾。
迈尔又把亚里士多德指出的词项置于三段论的形式中:所有人都是动物 所有人都是动物没有马是人 没有石头是人
①《前分析篇》i。
4,26a2。
②亚历山大5。
2,“通过具有具体词项的前提的同样的一个组合既能够得到全称肯定的结论,也能得到全称否定的结论,提供了这个组合不具有三段论力量的最有说服力的证明,因为借助于它,彼此互相推翻的反对和矛盾的命题都得到证明。”
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01第三章 亚里士多德三段论系统
所有马都是动物没有石头是动物(他把前提放在横线之上,犹如在三段论里一样)
,并且说:从逻辑上等价的前提得出了(results,ergibt
sich)一个全称肯定命题和一个全称否定命题。
①我们在下面将会看到亚里士多德所给出的词项并非意图置于三段论的形式中,并且没有什么东西从迈尔所引述的冒充的三段论中形式地得出。
考虑到这些错误的了解,对这个问题的逻辑分析似乎是必要的。
如果我们想证明下面的三段论形式:(1)
如果A属于所有B并且B属于无一C,则A不属于有些C不是一个三段论,并且从而不是一个真的逻辑定理,我们必须指出变项A,B,C有那样的值,它们可以确证前提,而不能确证结论。
因为一个包含变项的蕴涵式,只有当变项的一切值确证前件也确证后件,它才是真的。
表明这一点的最容易的办法是找出具体词项确证前提“A属于所有B”
和“B属于无一C”
,但不确证结论“A不属于有些C”。
亚里士多德找到了那样的词项:以“动物”代A,“人”代B,“马”代C。
前提“动物属于所有人”或“所有人都是动物”
,以及“人属于无一马”或“没有马是人”
,都可以确证;但结论“动物不属于
①《亚里士多德的三段论》,卷iia,第76页:“因而,这关系到以下的组合:所有人是动物 所有人是动物没有马是人 没有石头是人所有马是动物没有石头是动物由例子表明:通过我们看到的、由逻辑上完全等价的前提所建立的前提组合,既可以得出一个全称肯定命题也可以得出一个全称否定命题。”
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20。排斥的形式A 101
有些马“或”有些马不是动物“是假的。
因此公式(1)不是一个三段论。
同理,下面的形式:(2)
如果A属于所有B并且B属于无一C,则A属于无一C,也不是一个三段论,因为前提被与前面的相同词项所确证,但结论“动物属于无一马”或“没有马是动物”是假的。
由(1)和(2)的假可知不能从已给定的前提中得到否定的结论。
从它们也不能得出肯定结论。
例如其次一个三段论形式:(3)
如果A属于所有B并且B属于无一C,则A属于有些C。
对于A、B和C,有值(亦即具体词项)确证前提而不确证结论。
亚里士多德也举出了那样的词项:以“动物”代A,“人”代B,“石头”代C。
于是前提被确证了,因为“所有人都是动物”和“没有石头是人”都是真的,但结论“有些石头是动物”明显是假的。
因此,公式(3)不是一个三段论。
最后一个形式:(4)
如果A属于所有B并且B属于无一C,则A属于所有C,也不能是一个三段论,因为对于上面所举的词项来说,与前面一样,前提被确证了,而结论“所有石头都是动物”
没有被确证。