现在爱因斯坦和他的继承人都主张重力这一类的物
理事实，可以说是时—空性质中局部特征的表现。他们这种
学说便是在追随着纯粹的毕达哥拉斯传统。从某种意义来说，
柏拉图和毕达哥拉斯比亚里士多德更接近于近代物理科学。
前二者都是数学家，而亚里士多德则是一个医生的儿子。当
然我不是因此就说他不懂数学了。从毕达哥拉斯那里所能得
到的实际见解就是事先度量，然后用数字决定的量来表示质。
但从那时起一直到我们这个时代以前这个时期，生物学一直
多半只是一种分类的科学。因此，亚里士多德便在他的“逻
辑学”中把重点放在分类上。他这部“逻辑学”很享盛名，因
而在整个的中古世纪一直阻碍着物理科学的进展。如果烦琐
学者实行度量而不专门搞分类的话，他们将要多知道多少东
西啊！
分类是可以直接观察的个别实际事物和完全抽象的数学
观念之间的中途站。生物分类中的种所注意的只是种的特性，
属所注意的是属的特性。但当我们通过数计、度量、几何关
系和秩序形态等把数学观念和自然界的事实连系起来，理性
的思维便离开了那种牵涉一定的种与属的不完整抽象境界，
而进入了完整的数学抽象境域了。分类是必须的，但除非你
能从分类走向数学，否则你的推理便不会有多大进展。
从毕达哥拉斯到柏拉图那一段时期和属于现代世界的
１７世纪这一段时期之间，相隔差不多有两千年之久。在这个
漫长的时期中，数学得到了长足的发展。几何在圆椎截面和
三角的研究方面获得了成功，穷究法也几乎先声夺人地达成
了微积分的研究。最重要的还是亚洲思想家供献了阿拉伯数
字和代数学。但这些进步都是技术方面的。在这些漫长的岁
月中，数学作为哲学发展的构成部分来说，从来没有从亚里
士多德的掌握中解脱出来。但从毕达哥拉斯与柏拉图那一时
代传来的一些老观念，在这两千年中仍然不绝如缕；这些观
念从柏拉图学说对基督教神学初期发展的影响中也可以看出
来。但哲学并没有从不断发展的数学科学中得到任何新的灵
感。到１７世纪亚里士多德的影响降到了最低潮，数学也就恢
复了往日的重要地位。这是一个伟大物理学家和伟大哲学家
的时代，而哲学家和物理学家又都是数学家。唯有约翰·洛
克不同，他虽然也曾受到皇家学会中牛顿这一派人物的深刻
影响，但却是一个例外。在伽利略、笛卡儿、斯宾诺莎、牛
顿和莱布尼兹的时代里，数学对哲学观念的形成发生了极大
的影响。但这时脱颖而出的数学是一门和早期的数学完全不
同的科学。它开始了几乎难以令人置信的现代事业，|Qī-shū-ωǎng|它
在普遍性上有了进展，推演出了一套又一套的奥妙的理论。而且
每增加一分复杂性时，就愈找到了应用于物理科学或哲学思
维的新途径。阿拉伯数字在处理数目方面几乎为科学提供了
完整的技术效能。象这样从琐屑的算术细节（如纪元前１，６００
年埃及的算术所表现的情形一样）中挣脱出来以后，便使希
腊晚期数学模糊地预见到的前途得到了发展。这时代数登上
了舞台，代数成了算术的普通理论。正如同数字超脱了任何
一套特殊实念的约束一样，代数也超脱了任何特殊数字的观
念。比如说，数字“５”可以无分轩轾地表示任何包含５个实
有的群。同样的道理，代数中的字母也可以无分轩轾地用来
表示任何数字。只是事先应当规定，在同一用法中每个字母
都始终代表同一数字。
这种用法首先是用在方程式中。方程式是用来问复杂的
算术问题的方式。在这种场合下，代表数字的字母称为“未
知数”。但不久方程式就提出一个新概念，即一个或多个普遍
符号的函数。这种符号就是代表任何数字的字母。在这种用
法中，代数字母称为函数的“自变数”，有时也称为变数。比
方说，在这种情形下，如果以某种单位来测量一个角，并将
所得的数字用一个代数字母来代表，于是三角便被吸收到这
种新的代数中去了。因此，代数就发展成为一门普遍的分析
科学，研究许多未定自变数的各种函数的性质。最后，各种
特殊的函数如“三角函数”、“对数函数”和“代数函数”等
都综合为一个概念——“任何函数”。太广泛的综合就会毫无
结果。唯有用一种巧妙的特殊性来限制广泛的综合，才能成
为有效果的概念。例如任何·连·续函数的概念都引入了连续性
有限制的概念，因而便是富于效果的概念，并且已经得到了
许多极重要的应用。当时兴起的代数分析正好和笛卡儿发现
解析几何以及牛顿与莱布尼兹发现微积分同时。诚然，毕达
哥拉斯如果预先看到了他所创始的思绪的结果，一定会认为
他的兄弟会和会里所热衷的神秘仪式是完全有理由的。
我现在要说明的一点是：函变数观念在数学的抽象领域
中这样流行，反映在自然秩序中便是用数学表达出来的自然
规律。要是没有这种数学的进步，１７世纪的科学发展便是不
可能的。数学为科学家对自然的观察提供了想象力的背景。伽
利略、笛卡儿、惠根斯和牛顿等人都创造了许多公式。
如果要举一个特殊的例子来说明数学的抽象发展对当时
科学的影响，那么不妨看看周期性这一概念吧。在我们的日
常经验中，事物的一般重复现象是很明显的。日子、月相、一
年的四季、心跳、呼吸等都重复出现，绕行的星球也重复回
到自己的老位置上去。我们在各方面都看到有重复现象发生。
没有重复现象就不可能有知识，因为在这种情形下就没有任
何东西能根据以往的经验推断出来。同时，没有某些规律性
的重复现象，也不可能有度量。当我们获得了这一“精确”观
念后，重复现象在我们的经验中便成了基本的东西。
在１６、１７世纪时，周期性的理论在科学中占了主要地位。
凯普勒发现了一条定律，可以把各种行星轨道的长轴和各行
星循着自己的轨道环行时的周期联系起来；伽利略观察了摆
的振动周期；牛顿认为声音是由稀密相间的周期性波动通过
空气时所发生的扰动而形成的；惠根斯认为光线是由精微的
以太的横振动波而形成的。麦西尼把提琴弦的振动周期和它
的密度、张力以及长度联系起来。现代物理的诞生必须依靠
周期性的抽象概念在许多实例上的应用。但假若不是数学首
先用抽象的方式把环绕着周期性这一概念的各种抽象观念全
推演出来了，这事是不可能办到的。三角学刚兴起时是研究
直角三角形两锐角跟勾股弦的比率之间的关系。接着，在数
学中新发现的函数分析的影响下，又扩大为体现这种比率的
纯粹抽象的周期函数的研究。因此三角便完全变成抽象的研
究了，而且正是由于变成了抽象的研究，所以就有用处了。它
说明了各种完全不同的物理学现象中所潜存着的相同关系。
同时也提供了一种武器，使任何一套物理学现象都可以把自
身的各种性状加以分析，然后连系起来①。
从以往的事实看来，数学往更极端的抽象思维的高超领
域上升得愈高，日后再回到下面来时对具体事物的分析就愈
加重要，这一点是再清楚不过了。１７世纪的科学史读来，仿
佛是柏拉图和毕达哥拉斯一些历历如目前的梦境。从这方面
说来，１７世纪仅仅是后继者的开路先锋而已。
最高的抽象思维是控制我们对具体事物的思想的真正武
器，这一个似非而是的说法现在已经完全肯定了。由于１７世
纪时数学家盛极一时，１８世纪的思想便也是数学性的，尤其
是法国的影响占优势的地方更是如此。但英国从洛克开始的
经验主义却是一个例外。在法国以外的国家里，牛顿对哲学
的直接影响表现在康德身上最为明显，在休谟身上倒并不如
此。
１９世纪时，数学的一般影响减弱了。文学上的浪漫主义
运动和哲学上的唯心主义运动都不是从数学家开始的。甚至
在科学领域里的地质学、动物学和一般生物科学的发展都完
全与数学无关。这一世纪科学上最惊人的成就便是达尔文的
进化论。因此，按照这个世纪一般的思想状况说来，数学远
远地退居到后面去了。这倒不是说数学被忽视了。甚至也不
是说数学没有发生影响。１９世纪纯数学的进步几乎等于从毕
达哥拉斯以来所有各世纪的总和。