但可能还是有人觉得，49%和51％差别只有区区的0.02，而且与50％都只差1％，怎么就会有这么截然不同的结果呢？既然51％能赢，49％为什么就不能赢呢？为了解除疑问，彻底消除有人在赢率小于50％时还想赢赌场的幻想，下面再从另一个角度进行分析。
进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，则称这n次试验是相互独立的，在概率论中，把在同样条件下重复进行实验的数学模型称为独立试验序列概型。
在许多问题中，我们对随机实验感兴趣的是试验中某事件是否发生，例如，扔硬币试验中，关心的是出现正面还是出现反面；产品抽样检查中，注意抽取的产品是合格品还是次品；射击试验中，命中还是不命中；比赛中，胜还是负……当然还有赌博中，赢还是输。在这类问题中，试验的可能结果只有两个，这种只有两个可能结果的实验称为贝努利试验。
现在考虑重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变，“独立”的意思是指是指各次试验的结果是相互独立的，这种试验所对应的数学模型成为贝努利概型。有时为了突出实验次数n，也称为ｎ重贝努利试验。
在n重贝努利试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，它可以取0、1、2……n共n+1个可能值。这也是一个与理解赌博有关的随机变量。关于贝努利试验，有如下的重要定理。
对于贝努利概型，事件A在n次试验中发生ｋ次的概率为Pn（k）＝Cnkpkqn-k （0≤k≤n） (4?2?3)
事件A至多出现m次的概率是 m P｛0≤ξ≤ｍ｝ ＝ ∑Cnkpkqn-k
(4?2?4) K=0 事件A出现次数不小于ｌ不大于m的概率是 m P｛l≤ξ≤ｍ｝＝
∑ Cnkpkqn-k
(4?2?5) K=l 贝努利分布的期望E(ξ)＝np (4?2?6) 给定赌戏的赢率p，用上面的公式就可以计算出下注次数为n时的赢率。 当n为偶数时，计算公式为 n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝
∑
Cnkpkqn-k (4?2?7) K=n/2 当n为奇数时，计算公式为 n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝
∑
Cnkpkqn-k (4?2?8) K=n/2+1 其中K=n/2+1取整数。 从公式(4?2?7)和(4?2?8)可以看出，这种赢率不仅和赌戏的赢率有关，还和下注次数也有关，我们称其为赌博的赢率。由于下注次数正比于玩的时间，这个与时间有关的赌博的赢率才是人们通常所指的赢率，和赌戏的赢率即单次下注的赢率是完全不同的两个概念，普通赌客的一个根本误区就在于把赌戏的赢率当成了赌博的赢率。以后本书中所提到的赢率，如无特殊说明，均指更具有普遍意义的赌戏的赢率。
当n很大时，公式(4?2?7)和(4?2?8)的计算十分复杂，往往需要采用近似公式，为了使数据更具有说服力，笔者采用了直接计算的方法。给定相关数据下的一些结果如表4－2－1。 表4－2－1 下注次数为n时的赢率与下注次数之间的关系单次的赢率
下注次数n1 10 100 1000 10000 10000045.0000 45.0000 37.8579 15.8652
0.0764
0.0000 0.000045.5000 45.5000 39.0445 18.4172 0.2178 0.0000
0.000046.0000 46.0000 40.2398 21.2063 0.5651 0.0000
0.000046.5000
46.5000 41.4427 24.2241 1.3354 0.0000 0.000047.0000 47.0000
42.6525 27.4572 2.8808 0.0000 0.000047.5000 47.5000 43.8681
30.8867 5.6855 0.0000 0.000048.0000 48.0000 45.0886 34.4887
10.2918 0.0031 0.000048.5000 48.5000 46.3130 38.2349 17.1397
0.1347 0.000049.0000 49.0000 47.5404 42.0928 26.3576 2.2742
0.000049.5000 49.5000 48.7697 46.0270 37.5942 15.8655 0.07835
0.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.000050.5000
50.5000 51.2303 53.9730 62.4058 84.0345 99.921751.0000 51.0000
52.4596 57.9072 73.6424 97.7258 100.000051.5000 51.5000
53.6870
61.7651 82.8603 99.8653 100.000052.0000 52.0000 54.9114
65.5113
89.7082 99.9969 100.000052.5000 52.5000 56.1319 69.1133
94.3145
100.0000 100.000053.0000 53.0000 58.5573 75.7759 98.6646
100.0000 100.000053.5000 53.5000 58.5573 75.7759 98.6646
100.0000 100.000054.0000 54.0000 59.7602 78.7937 99.4349
100.0000 100.000054.5000 54.5000 60.9555 81.5828 99.7822
100.0000 100.000055.0000 55.0000 62.1421 84.1348 99.9236
100.0000 100.0000
表中的数据0.0000和100.0000是在取小数点后四位有效数字的情况下得到的。
由表4－2－1可以得出结论，在赢率为50％时赌博的赢率的性质发生了根本性的转折。在赢率小于50％时，赌博的赢率随游戏次数的增加变得越来越小，最终变成了0，0就意味着不可能，这个结论的确有些残酷，但它却是真实的。相反，只要赢率大于50％，那么，赌博的赢率随游戏次数的增加就会变得越来越大，最终变成了100％，100％就意味着完全的确定。
上述两种情况说明，似乎是不确定现象的赌博，随着游戏的进行，长期赌博的结果是完全确定的，n重贝努利试验从赢率的角度诠释了“久赌必输”和“久赌必赢”。
根据概率的不可能定理，可以编造这样一个故事：一只没有经过任何人工训练的猴子在钢琴上乱按，只要时间足够长，它最终可以弹出一首流利的莫扎特的《土耳其进行曲》。既然猴子都能弹出《土耳其进行曲》，那赌博的赢率再小，难道就没有谁碰到的时候？
赌博就犹如一场没有终点的旅行，开始了就很难结束。在负收益率时，赢赌场是一个小概率事件，而且时间越长，这个概率就越小，这是不同于猴子弹出《土耳其进行曲》的概率之处。对每一位赌客来说，都是想赢赌场的，但不管开始时是输是赢，都无法逃脱由负收益率所确定的“久赌必输”，一旦面临“输”字，似乎又应该继续往下赌才能捞回失去的金钱，但输钱的数字近似正比于所赌的时间，随着时间的不断增加，继续赌下去只会使他输得更多。在赢率小于50％的情况下，这是一个跳不出的循环，化不开的矛盾。我们通过对赌博的收益率研究得到了正收益率原则，对赌博的赢率的研究则更进一步印证了这一原则的正确性，结论简单而又直观，真实地反映了赌博中的规律，尽管其作用的方式比较抽象，但尊重事实按客观规律办事是一个理性人应有的素质，因此，知道收益率并坚持正收益率原则就是打败任何庄家的灵丹妙药。（上面的公式和表格贴出来后可能有点乱，暂时无办法做得更好，大家凑合着看吧）
第四节 策略
概率的方法是和直觉相对的，可以揭示一些表面上看不到的东西。